Pokazatelji operativne efikasnosti vidi. U praktičnoj lekciji ćemo razmotriti ovaj put i uporediti rezultate simulacije sa teorijskim rešenjem Indikatori efikasnosti sistema čekanja

U svim QS-ovima o kojima smo gore govorili, pretpostavljeno je da su svi zahtjevi koji ulaze u sistem homogeni, odnosno da imaju isti zakon raspodjele vremena usluge i da se servisiraju u sistemu prema opštoj disciplini odabira iz reda. Međutim, u mnogim stvarnim sistemima, zahtjevi koji ulaze u sistem su heterogeni kako u distribuciji vremena usluge tako i po svojoj vrijednosti za sistem i, prema tome, pravo na pravo na prioritetnu uslugu u trenutku kada je uređaj pušten. Takvi modeli se proučavaju u okviru teorije prioritetnih sistema čekanja. Ova teorija je prilično dobro razvijena i mnoge monografije su posvećene njenom izlaganju (vidi, na primjer, , , , itd.). Ovdje ćemo se ograničiti na kratak opis prioritetnih sistema i razmotriti jedan sistem.

Razmotrimo jednolinijski QS sa čekanjem. Nezavisni najjednostavniji tokovi stižu na ulaz sistema tok ima intenzitet . Mi ćemo označiti

Servisna vremena za zahtjeve iz toka karakterizirana su funkcijom distribucije s Laplace-Stieltjes transformacijom i konačnim početnim vremenima

Zahtjevi iz niti će se zvati zahtjevi prioriteta k.

Smatramo da zahtjevi iz niti imaju veći prioritet od zahtjeva iz niti ako se Prioritet manifestuje u činjenici da se u trenutku završetka servisa, zahtjev sa maksimalnim prioritetom bira iz reda sljedećeg za uslugu. Zahtjevi koji imaju isti prioritet biraju se prema utvrđenoj uslužnoj disciplini, na primjer, prema FIFO disciplini.

Različite opcije ponašanja sistema razmatraju se u situaciji kada, dok servisira zahtjev određenog prioriteta, sistem prima zahtjev višeg prioriteta.

Sistem se naziva QS relativnog prioriteta ako dolazak takvog zahtjeva ne prekida uslugu zahtjeva. Ako dođe do takvog prekida, sistem se naziva QS sa apsolutnim prioritetom. U ovom slučaju, međutim, potrebno je razjasniti dalje ponašanje zahtjeva čija je usluga prekinuta. Razlikuju se sljedeće opcije: prekinuti zahtjev napušta sistem i gubi se; prekinuti zahtjev se vraća u red čekanja i nastavlja sa servisiranjem od tačke prekida nakon što svi zahtjevi sa višim prioritetom napuste sistem; prekinuti zahtjev se vraća u red čekanja i ponovo počinje sa servisiranjem nakon što svi zahtjevi sa višim prioritetom napuste sistem. Prekinuti zahtjev se servisira od strane uređaja nakon što svi zahtjevi sa višim prioritetom napuste sistem na vrijeme koje ima istu ili neku drugu distribuciju. Moguće je da je potrebno vrijeme usluge u narednim pokušajima identično vremenu koje je bilo potrebno za potpuno servisiranje danog zahtjeva u prvom pokušaju.

Dakle, postoji prilično veliki broj opcija za ponašanje sistema sa prioritetom, koje se mogu naći u gore navedenim knjigama. Ono što je zajedničko u analizi svih sistema sa prioritetima je korištenje koncepta perioda zauzetosti sistema zahtjevima prioriteta k i više. U ovom slučaju, glavna metoda za proučavanje ovih sistema je metoda uvođenja dodatnog događaja, ukratko opisana u Odjeljku 6.

Ilustrujmo karakteristike pronalaženja karakteristika sistema sa prioritetima na primeru sistema opisanog na početku ovog poglavlja. Pretpostavićemo da se radi o sistemu sa relativnim prioritetom i naći stacionarnu distribuciju vremena čekanja za prioritetni zahtev ako je stigao u sistem u vreme t (tzv. virtuelno vreme čekanja), za sistem sa relativnim prioritetima.

Označimo

Uslov za postojanje ovih granica je ispunjenje nejednakosti

gdje se vrijednost izračunava po formuli:

Označimo i .

Iskaz 21. Laplace-Stieltjesova transformacija stacionarne distribucije virtualnog vremena čekanja prioritetnog zahtjeva k definirana je na sljedeći način:

gdje su funkcije date formulom:

a funkcije se nalaze kao rješenja funkcionalnih jednačina:

Dokaz. Imajte na umu da je funkcija Laplace-Stieltjesova transformacija distribucije dužine perioda kada je sistem zauzet zahtjevima prioriteta I i više (tj. vremenski interval od trenutka kada zahtjev prioriteta I i više stigne u prazan sistem i do prvog trenutka nakon toga kada je sistem slobodan od zahtjeva za prisustvom prioriteta I i više). Dokaz da funkcija zadovoljava jednačinu (1.118) gotovo doslovno ponavlja dokaz tvrdnje 13. Napominjemo samo da je vrijednost vjerovatnoća da period kada je sistem zauzet zahtjevima prioriteta I i više počinje dolaskom prioriteta zahtjeva, a vrijednost se tumači kao vjerovatnoća nepostojanja katastrofe i zahtjeva prioriteta I i više, za periode zauzetosti uzrokovane katastrofom, u vrijeme servisiranja prioritetnog zahtjeva koji je započeo ovaj period zauzetosti.

Prvo, umjesto procesa, razmotrimo znatno jednostavniji pomoćni proces - vrijeme tokom kojeg bi zahtjev prioriteta k čekao da počne servisiranje da je stigao u sistem u vrijeme t i nakon toga nije ušao nijedan zahtjev višeg prioriteta. sistem.

Neka je Laplace-Stieltjesova transformacija distribucije slučajne varijable. Pokažimo da je funkcija definirana na sljedeći način:

(1.119)

Verovatnoća da je sistem prazan u jednom trenutku je verovatnoća da je servisiranje prioritetnog zahteva počelo u intervalu

Za dokaz (1.119) primjenjujemo metodu uvođenja dodatnog događaja. Pretpostavimo da, bez obzira na rad sistema, dolazi jednostavan tok katastrofa intenziteta s. Svaki zahtjev ćemo nazvati "lošim" ako dođe do havarije tokom njegovog servisiranja, a "dobrim" u suprotnom. Kao što slijedi iz izjava 5 i 6, tok loših zahtjeva prioriteta k i višeg je najjednostavniji sa intenzitetom

Hajde da uvedemo događaj A(s,t) - tokom vremena t sistem nije primio nijedan loš zahtjev prioriteta k ili višeg. Na osnovu izjave 1, vjerovatnoća ovog događaja se izračunava kao:

Izračunajmo ovu vjerovatnoću drugačije. Događaj A(s,t) je unija tri nekompatibilna događaja

Događaj je da nijedna katastrofa nije stigla ni u vrijeme t ni u vrijeme. U ovom slučaju su, naravno, u vrijeme t stizali samo dobri zahtjevi prioriteta k i više. Verovatnoća događaja je očigledno jednaka

Događaj je da je katastrofa stigla u intervalu, ali je u trenutku dolaska sistem bio prazan, a za to vrijeme nije primljen nijedan loš zahtjev prioriteta k i višeg.

Vjerovatnoća događaja se izračunava na sljedeći način:

Događaj je da je katastrofa stigla u intervalu, ali je u trenutku njenog dolaska sistem servisirao zahtjev prioriteta ispod k, koji je počeo da se servisira u intervalu a tokom vremena t - i nije bilo loših zahtjeva prioriteta k i veće su primljene. Vjerovatnoća događaja se određuje na sljedeći način:

Budući da je događaj zbir tri nekompatibilna događaja, njegova vjerovatnoća je zbir vjerovatnoća ovih događaja. Zbog toga

Izjednačavanjem dva dobijena izraza za vjerovatnoću i množenjem obje strane jednakosti sa, nakon jednostavnih transformacija dobijamo (1.119)

Očigledno, da ne bi došlo do havarije u vremenu čekanja na zahtjev koji stigne u vrijeme t, potrebno je i dovoljno da za to vrijeme ne pristignu nikakve katastrofe i zahtjevi prioriteta i viših, kao što je to u periodima gužve (zahtjevi od prioritet i viši) generirani s njima, dolazi do katastrofe. Iz ovih razmatranja i probabilističke interpretacije Laplace-Stieltjesove transformacije, dobijamo formulu koja daje vezu između transformacija u očiglednom obliku.

1.1. Struktura i parametri efikasnosti i kvaliteta funkcionisanja QS-a

Mnogi ekonomski problemi su vezani za sisteme čekanja, tj. takvi sistemi u kojima se, s jedne strane, javljaju masovni zahtjevi (zahtjevi) za obavljanje bilo koje usluge, a s druge strane, ti zahtjevi se zadovoljavaju. QS uključuje sljedeće elemente: izvor zahtjeva, ulazni tok zahtjeva, red čekanja, uslužni uređaji (uslužni kanali), odlazni tok zahtjeva. Teorija čekanja proučava takve sisteme.

Objekti koji služe zahtjevima nazivaju se serviseri ili servisni kanali. Na primjer, to uključuje uređaje za dopunu goriva na benzinskim pumpama, telefonske komunikacijske kanale, sletne piste, servisere, blagajnike karata, mjesta za utovar i istovar u bazama i skladištima.

Koristeći metode teorije redova čekanja, mogu se riješiti mnogi problemi u proučavanju procesa koji se dešavaju u privredi. Dakle, u organizovanju trgovine ove metode omogućavaju određivanje optimalnog broja maloprodajnih objekata datog profila, broja prodavaca, učestalosti isporuke robe i drugih parametara. Drugi tipičan primjer sistema čekanja mogu biti benzinske pumpe, a zadaci teorije čekanja u ovom slučaju svode se na uspostavljanje optimalnog omjera između broja zahtjeva za uslugom koji pristižu na benzinsku pumpu i broja servisnih uređaja, na kojima se ukupni troškovi usluge i gubici od zastoja bi bili minimalni. Teorija čekanja se može primijeniti i pri proračunu površine skladišnih prostora, dok se skladišni prostor smatra uslužnim uređajem, a dolazak vozila na istovar smatra se uslovom. Modeli teorije čekanja koriste se i u rješavanju niza problema organizacije i racionalizacije rada, te drugih društveno-ekonomskih problema.

Svaki QS u svojoj strukturi uključuje određeni broj servisnih uređaja, koji se nazivaju servisni kanali (mogu uključivati osobe koje obavljaju određene operacije - blagajnike, operatere, menadžere, itd.) koji opslužuju određeni tok aplikacija (zahtjeva), koji nasumično dolaze na njegov ulaz puta. Prijave se obrađuju u nepoznatom, obično nasumičnom vremenu i zavise od mnogo različitih faktora. Nakon servisiranja zahtjeva, kanal se oslobađa i spreman je za primanje sljedećeg zahtjeva. Nasumična priroda toka aplikacija i vrijeme njihovog servisiranja dovodi do neravnomjernog učitavanja QS-a - preopterećenja sa formiranjem redova aplikacija ili podopterećenja - sa mirovanjem njegovih kanala. Slučajnost prirode toka aplikacija i trajanja njihovog servisa dovodi do slučajnog procesa u QS-u, za čije proučavanje je potrebna konstrukcija i analiza njegovog matematičkog modela. Proučavanje funkcionisanja QS-a je pojednostavljeno ako je slučajni proces markovski (proces bez naknadnih efekata, ili bez memorije), kada se rad QS-a lako opisuje korišćenjem konačnih sistema običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda, i u graničnom režimu (sa dovoljno dugim radom QS) pomoću linearnih algebarskih jednačina konačnih sistema. Kao rezultat toga, pokazatelji efektivnosti funkcionisanja QS-a se izražavaju kroz parametre QS-a, protok aplikacija i disciplinu.

Iz teorije je poznato da je da bi slučajni proces bio markovski potrebno i dovoljno da svi tokovi događaja (tokovi aplikacija, tokovi servisnih aplikacija itd.) pod uticajem kojih prelaze sistem iz stanja u stanje stanja nastaju, su Poissonovi, tj. imao svojstva posledice (za bilo koja dva nepreklapajuća vremenska intervala, broj događaja koji se dešavaju tokom jednog od njih ne zavisi od broja događaja koji se dešavaju posle drugog) i običnosti (verovatnoća pojave više od jednog događaja tokom elementarni, ili mali, vremenski period je zanemarljiv u poređenju sa vjerovatnoćom da se jedan događaj dogodi tokom ovog vremenskog perioda). Za najjednostavniji Poissonov tok, slučajna varijabla T (vremenski interval između dva susjedna događaja) raspoređuje se prema eksponencijalnom zakonu, koji predstavlja njegovu gustinu distribucije ili diferencijalnu funkciju raspodjele.

Ako je priroda tokova u QS-u drugačija od Poissonove, onda se njegove karakteristike efikasnosti mogu odrediti približno koristeći Markovu teoriju čekanja, i što je tačnije, to je QS složeniji i ima više servisnih kanala. U većini slučajeva, valjane preporuke za praktično upravljanje QS-om ne zahtijevaju poznavanje njegovih tačnih karakteristika, sasvim je dovoljno imati njihove približne vrijednosti.

Svaki QS, u zavisnosti od svojih parametara, ima određenu radnu efikasnost.

Efikasnost funkcionisanja QS-a karakterišu tri glavne grupe indikatora:

1. Efikasnost korišćenja QS – apsolutna ili relativna propusnost, prosečno trajanje perioda zauzetosti QS, stepen iskorišćenja QS, odnos nekorišćenja QS;

2. Kvalitet servisiranja aplikacija - prosječno vrijeme (prosječan broj prijava, zakon o raspodjeli) čekanja aplikacije u redu ili zadržavanja aplikacije u QS-u; vjerovatnoća da će primljeni zahtjev odmah biti prihvaćen za izvršenje;

3. Efikasnost funkcionisanja para CMO-potrošača, a potrošač se shvaća kao skup aplikacija ili neki njihov izvor (npr. prosječni prihod koji donosi CMO po jedinici radnog vremena itd.) .

1.2 Klasifikacija QS i njihovih glavnih elemenata

QS se razvrstavaju u različite grupe u zavisnosti od sastava i vremena provedenog u redu prije početka servisa, te od discipline servisiranja zahtjeva.

Prema sastavu QS-a razlikuju se jednokanalne (sa jednim uslužnim uređajem) i višekanalne (sa velikim brojem uređaja za serviranje). Višekanalni sistemi se mogu sastojati od servisnih uređaja istih i različitih performansi.

Na osnovu vremena koje je potrebno u redu prije početka servisiranja, sistemi su podijeljeni u tri grupe:

1) sa neograničenim vremenom čekanja (sa čekanjem),

2) sa odbijanjem;

3) mješoviti tip.

U QS-u s neograničenim vremenom čekanja, sljedeći zahtjev, koji otkriva da su svi uređaji zauzeti, ulazi u red čekanja i čeka servis dok se jedan od uređaja ne oslobodi.

U sistemima sa kvarovima, pristigli zahtjev, koji otkriva da su svi uređaji zauzeti, napušta sistem. Klasičan primjer sistema sa kvarovima je rad automatske telefonske centrale.

U sistemima mješovitog tipa, dolazni zahtjev otkriva da su svi uređaji zauzeti, čekaju se u redu i čekaju na servis ograničeno vrijeme bez čekanja na servis u zadato vrijeme, zahtjev napušta sistem.

Razmotrimo ukratko karakteristike funkcionisanja nekih od ovih sistema.

1. QS sa čekanjem karakteriše činjenica da u sistemu od n (n>=1) svaki zahtjev koji stigne u QS u trenutku kada su svi kanali zauzeti ulazi u red čekanja i čeka uslugu, a svaki dolazni zahtjev je servisiran. Takav sistem može biti u jednom od beskonačnog broja stanja: s n +k (r=1.2...) – svi kanali su zauzeti i ima r aplikacija u redu čekanja.

2. QS sa čekanjem i ograničenjem dužine reda se razlikuje od gore navedenog po tome što ovaj sistem može biti u jednom od n+m+1 stanja. U stanjima s 0 , s 1 ,…, s n nema reda, jer ili nema aplikacija u sistemu ili ih uopšte nema i kanali su slobodni (s 0), ili ih ima nekoliko I (I = 1,n ) aplikacije u sistemu, koje opslužuje odgovarajući (n+1, n+2,…n+r,…,n+m) broj aplikacija i (1,2,…r,…,m) aplikacije koje stoje u redu. Aplikacija koja stigne na QS ulaz u trenutku kada već ima m aplikacija u redu čekanja se odbija i ostavlja sistem neuslužen.

Dakle, višekanalni QS u suštini funkcioniše kao jednokanalni, kada svih n kanala rade kao jedan sa disciplinom uzajamne pomoći koja se zove svi kao jedan, ali sa većim intenzitetom usluge. Grafikon stanja ovakvog sličnog sistema sadrži samo dva stanja: s 0 (s 1) - svih n kanala su slobodni (zauzeti).

Analiza različitih tipova QS-a uz međusobnu pomoć tipa sve-u-jednom pokazuje da takva uzajamna pomoć smanjuje prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu, ali pogoršava niz drugih karakteristika kao što su vjerovatnoća kvara, propusnost, prosječan broj aplikacija u redu i vrijeme čekanja na njihovo izvršenje. Stoga se za poboljšanje ovih pokazatelja koristi promjena u disciplini servisiranja zahtjeva uz jednoobraznu međusobnu pomoć između kanala na sljedeći način:

· Ako zahtjev stigne QS-u u vrijeme kada su svi kanali slobodni, tada svih n kanala počinje da ga servisira;

· Ako u ovom trenutku stigne sljedeći zahtjev, neki od kanala se prebacuju na njegovo servisiranje

· Ako pri servisiranju ova dva zahtjeva stigne treći zahtjev, onda se neki od kanala prebacuju na servisiranje ovog trećeg zahtjeva, sve dok svaki zahtjev koji se nalazi u QS-u ne opsluži samo jedan kanal. U ovom slučaju, prijava primljena u trenutku kada su svi kanali zauzeti, u QS-u sa odbijanjima i jedinstvenom uzajamnom pomoći između kanala, može biti odbijena i biće prinuđena da napusti sistem neopslužen.

Metode i modeli koji se koriste u teoriji čekanja mogu se podijeliti na analitičke i simulacijske.

Analitičke metode teorije čekanja omogućavaju dobijanje karakteristika sistema kao nekih funkcija njegovih parametara rada. Zahvaljujući tome, postaje moguće izvršiti kvalitativnu analizu uticaja pojedinih faktora na efikasnost QS-a. Simulacijske metode se baziraju na kompjuterskom modeliranju procesa čekanja i koriste se ako je upotreba analitičkih modela nemoguća.

Trenutno su teorijski najrazvijenije i najpogodnije za praktičnu primjenu metode za rješavanje problema čekanja u kojima je dolazni tok zahtjeva najjednostavniji (Poisson).

Za najjednostavniji tok, učestalost zahtjeva koji ulaze u sistem poštuje Poissonov zakon, tj. vjerovatnoća dolaska u vrijeme t od tačno k zahtjeva je data formulom:

Važna karakteristika QS-a je vrijeme potrebno za servisiranje zahtjeva u sistemu. Vrijeme usluge jednog zahtjeva je, po pravilu, slučajna varijabla i stoga se može opisati zakonom distribucije. Eksponencijalni zakon raspodjele vremena usluge se najviše koristi u teoriji, a posebno u praktičnim primjenama. Funkcija distribucije za ovaj zakon ima oblik:

One. vjerovatnoća da vrijeme servisiranja ne prelazi određenu vrijednost t određena je ovom formulom, gdje je µ parametar eksponencijalne usluge zahtjeva u sistemu, tj. recipročna vrijednost servisnog vremena t rev:

Razmotrimo analitičke modele najčešćeg QS-a sa očekivanjem, tj. takav QS u kojem se zahtjevi primljeni u vrijeme kada su svi kanali za opsluživanje zauzeti stavljaju u red i servisiraju kako kanali postaju slobodni.

Opća formulacija problema je sljedeća. Sistem ima n kanala za opsluživanje, od kojih svaki može poslužiti samo jedan zahtjev u isto vrijeme.

Sistem prima jednostavan (Paussonov) tok zahtjeva s parametrom . Ako u trenutku kada stigne sljedeći zahtjev, u sistemu već postoji najmanje n zahtjeva za servisiranje (tj. svi kanali su zauzeti), onda ovaj zahtjev postaje u redu čekanja i čeka da servisiranje počne.

U sistemima sa određenom servisnom disciplinom, dolazni zahtev, koji pronalazi da su svi uređaji zauzeti, u zavisnosti od njegovog prioriteta, se ili servisira van reda ili se stavlja u red čekanja.

Glavni elementi QS-a su: ulazni tok zahtjeva, red zahtjeva, opslužujući uređaji (kanali) i odlazni tok zahtjeva.

Proučavanje QS-a počinje analizom dolaznog toka zahtjeva. Dolazni tok zahtjeva je skup zahtjeva koji ulaze u sistem i treba ih servisirati. Proučava se dolazni tok zahtjeva kako bi se ustanovili obrasci ovog toka i dodatno unaprijedio kvalitet usluge.

U većini slučajeva, dolazni tok je nekontrolisan i zavisi od niza slučajnih faktora. Broj zahtjeva koji pristižu po jedinici vremena je slučajna varijabla. Slučajna varijabla je također vremenski interval između susjednih dolaznih zahtjeva. Međutim, pretpostavlja se da su dati prosječan broj primljenih zahtjeva po jedinici vremena i prosječni vremenski interval između susjednih dolaznih zahtjeva.

Prosječan broj zahtjeva koji ulaze u uslužni sistem u jedinici vremena naziva se stopa pristizanja potražnje i određuje se sljedećom relacijom:

gdje je T prosječna vrijednost intervala između pristizanja narednih zahtjeva.

Za mnoge stvarne procese, tok zahtjeva je prilično dobro opisan Poissonovim zakonom distribucije. Takav tok se naziva najjednostavnijim.

Najjednostavniji tok ima sljedeća važna svojstva:

1) Svojstvo stacionarnosti, koje izražava nepromjenjivost vjerovatnog režima protoka tokom vremena. To znači da bi broj zahtjeva koji ulaze u sistem u jednakim vremenskim intervalima trebao, u prosjeku, biti konstantan. Na primjer, broj automobila koji u prosjeku dnevno pristižu na utovar trebao bi biti isti za različite vremenske periode, na primjer, na početku i na kraju decenije.

2) odsustvo naknadnog dejstva, koje određuje međusobnu nezavisnost prijema jednog ili drugog broja zahteva za uručenje u vremenskim periodima koji se ne preklapaju. To znači da broj zahtjeva koji pristižu u datom vremenskom periodu ne zavisi od broja zahtjeva koji su servisirani u prethodnom vremenskom periodu. Na primjer, broj vozila koja stižu po materijal desetog dana u mjesecu je nezavisan od broja vozila servisiranih četvrtog ili bilo kojeg drugog prethodnog dana u mjesecu.

3) Svojstvo običnosti, koje izražava praktičnu nemogućnost istovremenog prijema dva ili više zahtjeva (vjerovatnoća takvog događaja je nemjerljivo mala u odnosu na period koji se razmatra, kada potonji teži nuli).

Uz najjednostavniji tok zahtjeva, distribucija zahtjeva koji ulaze u sistem poštuje Poissonov zakon distribucije:

vjerovatnoća da će tačno k zahtjeva stići u servisni sistem za vrijeme t:

Gdje. - prosječan broj primljenih zahtjeva za uslugu po jedinici vremena.

U praksi, uslovi najjednostavnijeg toka nisu uvek striktno ispunjeni. Proces je često nestacionaran (u različitim satima dana i različitim danima u mjesecu, tok zahtjeva se može promijeniti; može biti intenzivniji ujutro ili posljednjih dana u mjesecu). Postoji i posledica, kada broj zahteva za puštanje robe na kraju meseca zavisi od njihovog zadovoljenja na početku meseca. Fenomen heterogenosti se uočava i kada više klijenata istovremeno dolazi u skladište materijala. Međutim, općenito, Poissonov zakon distribucije odražava mnoge procese čekanja s prilično visokom aproksimacijom.

Osim toga, prisustvo Poissonovog toka zahtjeva može se utvrditi statističkom obradom podataka o prijemu zahtjeva za uslugu. Jedna od karakteristika Poissonovog zakona raspodjele je jednakost matematičkog očekivanja slučajne varijable i varijanse iste varijable, tj.

Jedna od najvažnijih karakteristika servisnih uređaja, koja određuje propusnost čitavog sistema, je servisno vrijeme.

Vrijeme usluge za jedan zahtjev () je slučajna varijabla koja se može mijenjati u širokom rasponu. To zavisi od stabilnosti rada samih servisnih uređaja, kao i od različitih parametara koji ulaze u sistem, zahtjeva (na primjer, različita nosivost vozila koja dolaze na utovar ili istovar.

Slučajnu varijablu u potpunosti karakterizira zakon raspodjele, koji se utvrđuje na osnovu statističkih testova.

U praksi se najčešće prihvata hipoteza o eksponencijalnom zakonu raspodjele vremena usluge.

Eksponencijalni zakon raspodjele vremena servisiranja javlja se kada se gustina distribucije naglo smanjuje s povećanjem vremena t. Na primjer, kada se većina zahtjeva brzo servisira, a dugotrajna usluga je rijetka. Prisustvo eksponencijalnog zakona raspodjele za vrijeme službe utvrđuje se na osnovu statističkih opservacija.

Sa eksponencijalnim zakonom raspodjele vremena servisiranja, vjerovatnoća događaja da vrijeme servisiranja neće trajati duže od t jednaka je:

gdje je v intenzitet servisiranja jednog zahtjeva od strane jednog servisnog uređaja koji se određuje iz relacije:

gdje je prosječno vrijeme za servisiranje jednog zahtjeva od strane jednog servisnog uređaja.

Treba napomenuti da ako je zakon raspodjele radnog vremena indikativan, onda će u prisustvu više servisnih uređaja iste snage biti indikativan i zakon raspodjele vremena rada po nekoliko uređaja:

gdje je n broj uređaja za opsluživanje.

Važan parametar QS-a je faktor opterećenja, koji se definiše kao omjer intenziteta prijema zahtjeva i intenziteta usluge v.

gdje je a faktor opterećenja; - intenzitet zahtjeva koji ulaze u sistem; v je intenzitet servisiranja jednog zahtjeva od strane jednog servisnog uređaja.

Iz (1) i (2) dobijamo to

S obzirom da je to intenzitet zahtjeva koji ulaze u sistem po jedinici vremena, proizvod pokazuje broj zahtjeva koji ulaze u sistem usluga tokom prosječnog vremena servisiranja jednog zahtjeva od strane jednog uređaja.

Za QS sa čekanjem, broj servisiranih uređaja n mora biti striktno veći od faktora opterećenja (zahtjev za stabilan ili stacionarni način rada QS-a):

U suprotnom, broj dolaznih zahtjeva će biti veći od ukupne produktivnosti svih uređaja za opsluživanje, a red čekanja će rasti bez ograničenja.

Za QS sa kvarovima i mešovitim tipovima, ovaj uslov može biti oslabljen za efikasan rad ovih tipova QS, dovoljno je zahtevati da minimalni broj servisiranih uređaja n ne bude manji od faktora opterećenja:

1.3 Proces simulacije

Kao što je ranije napomenuto, proces iterativnog razvoja simulacionog modela počinje kreiranjem jednostavnog modela, koji zatim postepeno postaje složeniji u skladu sa zahtjevima problema koji se rješava. U procesu simulacije mogu se razlikovati sljedeće glavne faze:

1. Formiranje problema: opis problema koji se proučava i određivanje ciljeva studije.

2. Razvoj modela: logički i matematički opis modeliranog sistema u skladu sa formulacijom problema.

3. Priprema podataka: identifikacija, specifikacija i prikupljanje podataka.

4. Prevod modela: prevod modela na jezik prihvatljiv za računar koji se koristi.

5. Verifikacija: utvrđivanje ispravnosti mašinskih programa.

6. Validacija: procjena potrebne tačnosti i usklađenosti simulacionog modela sa realnim sistemom.

7. Strateško i taktičko planiranje: određivanje uslova za izvođenje mašinskog eksperimenta sa simulacionim modelom.

8. Eksperimentisanje: pokretanje simulacionog modela na računaru za dobijanje potrebnih informacija.

9. Analiza rezultata: proučavanje rezultata simulacionog eksperimenta radi pripreme zaključaka i preporuka za rješavanje problema.

10. Implementacija i dokumentacija: implementacija preporuka dobijenih iz simulacije, priprema dokumentacije o modelu i njegovo korištenje.

Razmotrimo glavne faze simulacijskog modeliranja. Prvi zadatak simulacijske studije je precizno definiranje problema i detaljno formuliranje ciljeva studije. Tipično, definicija problema je trajni proces koji se obično dešava tokom studije. Revidira se kao dublje razumijevanje problema koji se proučava i pojavljivanje novih aspekata istog.

Nakon što je formulisana početna definicija problema, počinje faza izgradnje modela sistema koji se proučava. Model uključuje statistički i dinamički opis sistema. U statističkom opisu određuju se elementi sistema i njihove karakteristike, a u dinamičkom opisu interakcija elemenata sistema, usled čega dolazi do promene njegovog stanja tokom vremena.

Proces formiranja modela je na mnogo načina umjetnost. Programer modela mora razumjeti strukturu sistema, identificirati pravila njegovog funkcionisanja i biti u stanju da istakne ono najvažnije u njima, eliminirajući nepotrebne detalje. Model mora biti lak za razumijevanje i u isto vrijeme dovoljno složen da realno predstavlja karakteristike stvarnog sistema. Najvažnije odluke donosi projektant o tome da li su usvojena pojednostavljenja i pretpostavke tačne, koje elemente i interakcije između njih treba uključiti u model. Nivo detalja u modelu zavisi od svrhe njegovog kreiranja. Potrebno je uzeti u obzir samo one elemente koji su bitni za rješavanje problema koji se proučava. I u fazi formiranja problema iu fazi modeliranja, neophodna je bliska interakcija između razvijača modela i njegovih korisnika. Osim toga, bliska interakcija u fazama formulacije problema i razvoja modela daje korisniku povjerenje u ispravnost modela, te stoga pomaže u osiguravanju uspješne implementacije rezultata simulacijske studije.

U fazi razvoja modela određuju se zahtjevi za ulaznim podacima. Neki od ovih podataka možda su već dostupni modelarima, dok će za prikupljanje drugih biti potrebno vrijeme i trud. Obično se vrijednost takvih ulaznih podataka postavlja na osnovu nekih hipoteza ili preliminarne analize. U nekim slučajevima, tačne vrijednosti jednog (ili više) ulaznih parametara imaju mali utjecaj na rezultate pokretanja modela. Osjetljivost dobijenih rezultata na promjene ulaznih podataka može se procijeniti provođenjem serije simulacijskih pokretanja za različite vrijednosti ulaznih parametara. Simulacijski model se stoga može koristiti za smanjenje vremena i troškova potrebnih za preciziranje ulaznih podataka. Nakon što je model razvijen i sakupljeni početni ulazni podaci, sljedeći zadatak je prevesti model u kompjuterski dostupan oblik.

U fazama verifikacije i validacije procjenjuje se funkcioniranje simulacijskog modela. U fazi verifikacije utvrđuje se da li model programiran za računar odgovara namjeri programera. Ovo se obično radi ručnom provjerom izračuna, ali se može koristiti i niz statističkih metoda.

Utvrđivanje adekvatnosti simulacionog modela sistema koji se proučava vrši se u fazi validacije. Validacija modela se obično izvodi na različitim nivoima. Specifične metode validacije uključuju utvrđivanje adekvatnosti korištenjem konstantnih vrijednosti za sve parametre simulacijskog modela ili procjenom osjetljivosti izlaza na promjene vrijednosti ulaznih podataka. Tokom procesa validacije, poređenja treba napraviti na osnovu analize stvarnih i eksperimentalnih podataka o funkcionisanju sistema.

U fazama strateškog i taktičkog planiranja određuju se uslovi za izvođenje mašinskih vožnji modela. Zadatak strateškog planiranja je razviti efikasan eksperimentalni plan, kao rezultat kojeg se razjašnjava odnos između kontroliranih varijabli ili pronalazi kombinacija vrijednosti kontroliranih varijabli, minimiziranje ili maksimiziranje simulacijskog modela. Taktičko planiranje, za razliku od strateškog planiranja, bavi se pitanjem kako provesti svaku simulaciju u okviru eksperimentalnog plana kako bi se dobila najveća količina informacija iz izlaznih podataka. Važno mjesto u taktičkom planiranju zauzima definicija uslova za simulacijske vožnje i metode za smanjenje varijanse prosječne vrijednosti odziva modela.

Sljedeće faze u procesu simulacijskog istraživanja - izvođenje kompjuterskog eksperimenta i analiza rezultata - uključuju pokretanje simulacionog modela na računaru i interpretaciju rezultirajućih izlaznih podataka. Posljednja faza simulacijske studije je implementacija rezultirajućih rješenja i dokumentiranje simulacijskog modela i njegove upotrebe. Nijedan projekat simulacije ne treba smatrati završenim dok se rezultati ne koriste u procesu donošenja odluka. Uspeh implementacije u velikoj meri zavisi od toga koliko je korektno programer modela završio sve prethodne faze procesa simulacionog istraživanja. Ako su programer i korisnik blisko sarađivali i postigli međusobno razumijevanje u razvoju modela i njegovom istraživanju, onda je vjerovatno da će rezultat projekta biti uspješno implementiran. Ako između njih nije bilo bliskog odnosa, tada će, uprkos eleganciji i adekvatnosti simulacijskog modeliranja, biti teško razviti učinkovite preporuke.

Gore navedeni koraci se retko izvode u strogo definisanom redosledu, od definicije problema do dokumentacije. Tokom simulacije može doći do neuspjeha u izvođenju modela, pogrešnih pretpostavki koje kasnije moraju biti napuštene, ponovnog fokusiranja istraživačkih ciljeva, ponovnih procjena i ponovne izgradnje modela. Ovaj proces omogućava razvoj simulacionog modela koji daje valjanu procjenu alternativa i olakšava proces donošenja odluka.

Poglavlje 2. Distribucije i generatori pseudoslučajnih brojeva

U nastavku će se koristiti sljedeće oznake:

X je slučajna varijabla; f(x) - funkcija gustoće vjerovatnoće X; F(x) - funkcija vjerovatnoće X;

a - minimalna vrijednost;

b - maksimalna vrijednost;

μ - matematičko očekivanje M[X]; σ2 - varijansa M[(X-μ)2];

σ - standardna devijacija; α-parametar funkcije gustoće vjerovatnoće;

Red dužine k ostaje u njemu sa verovatnoćom Pk i ne ulazi u red sa verovatnoćom gk=1 - Pk." Upravo tako se ljudi obično ponašaju u redovima. U sistemima čekanja, koji su matematički modeli proizvodnih procesa, moguće je Dužina reda čekanja je ograničena konstantnom veličinom (na primjer, kapacitet bunkera).

1. Intenzitet toka servisiranja aplikacije

2. QS faktor opterećenja

3. Vjerovatnoća formiranja reda

4. Vjerovatnoća kvara sistema

5. Bandwidth

6. Prosječan broj aplikacija u redu čekanja

7. Prosječan broj aplikacija koje opslužuje QS

8. Prosječan broj aplikacija u QS-u

9. Prosječno vrijeme prijave na CMO

10. Prosječno vrijeme koje aplikacija provede u redu čekanja

11. Prosječan broj zauzetih kanala.

Kvalitet rezultirajućeg sistema mora se suditi prema tačnim vrijednostima indikatora. Prilikom analize rezultata simulacije važno je obratiti pažnju na interese klijenta i vlasnika sistema. Konkretno, ovaj ili onaj indikator bi trebao biti minimalni ili maksimalni.

26. Jednokanalni QS

27. Jednokanalni QS sa kvarovima

28. Višekanalni QS sa ograničenim redom čekanja

QS parametri:

o Intenzitet toka aplikacija.

o Intenzitet toka usluga.

o Prosjek t zahtjevanog servisiranja.

o Broj servisnih kanala.

o Servisna disciplina.

< СМО на примере работы АЗС. Несколько одинак. колонок, произв-ть кот.известна. Если колонки заняты, то обслуживание в очереди м. ждать не >3 automobila u isto vreme. Smatramo da je red uobičajen. Ako su sva mjesta u redu zauzeta, tada je mašina odbijena za servis.

29. Transportni zadatak

- širok spektar zadataka ne samo transportne prirode, distribucije resursa, koji se nalaze na nekoliko. dobavljači, d/drugi proizvoljan broj potrošača. D/prevoznici koji se najčešće odnose na transport:

1. Povezivanje potrošača sa resursima proizvođača.

2. Povezivanje polaznih tačaka sa odredištima.

3. Povezanost prednjih i povratnih tokova tereta.

4. Optimalna distribucija V industrijske proizvodnje. proizvedeni proizvodi.

< модель привязки к пункту назначения. Известны: пункты отправления и назначения, объемы отправления по к-му пункту, потребность в грузе, стоимость доставки по каждому варианту. Н. оптимальный план перевозок с min транспортными издержками.

30. Tr. zatvoreni zadatak- ∑Vsent. teret = ∑V potrošnja u ovom teretu, tj. ∑ai=∑bj (m – broj dobavljača, n – broj potrošača).

31 . Ako ovaj uslov nije moguć - open tr. zadatak. Zatim se mora zatvoriti:

1. Ako potražnja odredišnih tačaka premašuje rezerve polaznih tačaka, onda se sa nedostajućom pošiljkom uvodi fiktivni dobavljač.

2. Celokupna ponuda dobavljača > treba, tada se unos potvrđuje. potrošača.

32. Algoritam za rješavanje problema metodom potencijala (etape):

1. Izrada početnog plana (referentnog rješenja).

2. Proračun potencijala.

3. Provjera optimalnosti plana.

4. Potražite maksimalnu vezu neoptimalnosti (ako korak 3 nije ispunjen)

5. Izrada konture za preraspodjelu resursa.

6. Određivanje minimalnog napona u krugu za preraspodjelu i preraspodjelu. resursi duž konture.

7. Dobivanje novog plana.

Ovaj postupak se ponavlja nekoliko puta dok se ne pronađe optimalno rješenje. Algoritam ostaje nepromijenjen. Metode za pronalaženje početnog plana:

1. Metoda SZ ugla

2. Metoda minimalnih troškova

3. Metoda dvostruke preferencije

Potencijalna metoda vam omogućava da pronađete optimalni koristeći konačan broj planova. (Vogelova metoda) Potencijalna metoda je razvijena za klasičnu. transportnih zadataka, ali takvi su rijetki, moraju se uvesti brojna ograničenja.

33. U ekonomiji organizovanja sastanaka norma zadataka, kat.m.b. svedeno na transportni problem:

1. Dept. isporuke od def. neki dobavljači potrošači d.b. isključeno zbog nedostatka potrebnih konvencionalno skladištenje, komunikacijsko preopterećenje itd.

2. Organ. potrebno def. min ∑troškovi proizvodnje i transporta proizvoda. M. ispostavilo se da je ekonomičan. isplativije je dopremati sirovine sa udaljenijih tačaka, ali<себест-ти. Критерий оптимальности принимает ∑ затрат на пр-во и тран-ку.

3. Broj transporta. rute imaju ograničenja kapaciteta.

4. Isporuke kako je definisano. rute su obavezne i obavezne. d. plan.

5. Ekonomski problem nije transport. (Primjer: distribucija proizvedene robe od strane rabljenih preduzeća).

6. Potreba da se maksimizira ciljna funkcija zadatka tipa transporta.

7. Potreba za distribucijom različitih vrsta tereta među potrošačima u isto vrijeme – Problem transporta više proizvoda.

8. Isporuka robe u kratkom roku. (Potencijalna metoda nije prikladna; može se riješiti posebnim algoritmom).

34. Transportni problem u zamjeni mreže

Ako je stanje transportnog problema navedeno u obliku dijagrama, on prikazuje dobavljače, potrošače i komunikacije. njihovi putevi, vrijednosti rezervi tereta i potrebe za njim i indikatori kriterija optimalnosti (tarife, udaljenosti) su prikazani na vrhovima (čvorovima) mreže. Zalihe tereta se smatraju pozitivnim, a potražnje negativnim brojevima. Rubovi (lukovi) mreže su saobraćajnice. Problem u formulaciji mreže zasniva se na metodi potencijala i počinje izradom početnog referentnog plana, koji mora zadovoljiti zahtjeve:

1. Sve zalihe moraju biti distribuirane i kupci zadovoljni.

2. Za svaki vrh mora biti naznačena isporuka tereta (+ ili -).

3. Ukupan broj isporuka mora biti za 1 manji od broja vrhova.

4. Strelice koje označavaju isporuke ne bi trebale da formiraju zatvorenu petlju. kolo.

Zatim se provjerava optimalnost plana, za šta se izračunavaju potencijali. Dobijaju novi plan i ponovo ga ispituju da li je optimalan. Odrediti vrijednost ciljne funkcije.

U slučaju otvorenog modela, uvodi se fiktivni potrošač ili dobavljač.

35. D/rješavanje naučnih i praktičnih problema iz oblasti logistike cca. glavne metode:

1. Metode analize sistema

2. Metode teorije operacijskog istraživanja

3. Kibernetičke metode

4. Metoda predviđanja

5. Metode stručnih procjena

6. Metode modeliranja

36. U logistici se najčešće koristi imitacija. modeliranje, u kojem zakoni koji određuju kvantitativni odnos ostaju nepoznati, a sam logistički proces ostaje “crna kutija” ili “siva kutija”.

Na glavne procese imitacije. modeliranje u vezi sa:

1. Konstrukcija modela realnog sistema.

2. Provođenje eksperimenata na ovom modelu.

Ciljevi modeliranja:

o Određivanje ponašanja logističkog sistema.

o Izbor strategije za obezbjeđivanje. najefikasnije funkcionisanje logistike. sistemima.

Imitacija Preporučljivo je izvršiti modeliranje kada su ispunjeni sljedeći uslovi:

1. Nepostojeće. nije razvijena završena formulacija problema ili analitičke metode za rješavanje formulisanih. math. modeli.

2. Analitički postoji model, ali procedure su složene i dugotrajne, sl. imitacija modeliranje pruža jednostavniji način rješavanja problema.

3. Analitički rješenja imenica, ali je njihova implementacija nemoguća zbog nedovoljne matematičke obučenosti kadrova.

37. Našla je široku upotrebu u logistici ekspertni sistemi- poseban kompjuterski programi, kat. pomoć stručnjacima u donošenju odluka, komunikacija. sa upravljanjem protokom materijala.

Ekspertski sistem vam omogućava da:

1. Donosite brze i kvalitetne odluke u oblasti upravljanja materijalima.

2. pripremiti iskusne specijaliste u relativno kratkom vremenskom periodu.

4. Iskoristiti iskustvo i znanje visokokvalifikovanih stručnjaka na različitim radnim mjestima.

Nedostaci ekspertskog sistema:

1. Ograničena sposobnost upotrebe zdravog razuma.

2. Nemoguće je uzeti u obzir sve karakteristike programa ekspertskog sistema.

Proračun indikatora efikasnosti otvorenog jednokanalnog QS-a sa kvarovima. Proračun indikatora efikasnosti otvorenog višekanalnog QS-a sa kvarovima. Proračun indikatora efikasnosti višekanalnog QS-a sa ograničenjem dužine reda čekanja. Izračunavanje indikatora performansi višekanalnog QS-a prema očekivanju.

1. Tokovi aplikacija do CMO-a

2. Zakoni službe

3. Kriterijumi za kvalitet rada QS-a

5. Parametri modela reda čekanja. Prilikom analize masovnih sistema

6. I. Model A je model jednokanalnog sistema čekanja sa Poissonovim ulaznim tokom zahtjeva i eksponencijalnim vremenom usluge.

7. II. Model B je višekanalni servisni sistem.

8. III. Model C je model sa stalnim servisnim vremenom.

9. IV. Model D je model ograničene populacije.

Tokovi aplikacija do CMO-a

Postoje dolazni i odlazni tokovi aplikacija.
Ulazni tok aplikacija je vremenski slijed događaja na ulazu QS-a, za koji je pojava događaja (aplikacije) podređena vjerojatnostim (ili determinističkim) zakonima. Ako su zahtjevi za servisiranje u skladu s bilo kojim rasporedom (na primjer, automobili dolaze na benzinsku pumpu svaka 3 minute), onda je takav tok podložan determinističkim (određenim) zakonima. Ali, po pravilu, prijem prijava podliježe nasumičnim zakonima.
Da bi se opisali slučajni zakoni u teoriji čekanja, uvodi se model tokova događaja. Tok događaja je niz događaja koji slijede jedan za drugim u nasumično vrijeme.
Događaji mogu uključivati dolazak aplikacija na ulaz QS-a (na ulaz bloka reda čekanja), pojavu aplikacija na ulazu servisnog uređaja (na izlazu bloka reda) i pojavu servisiranih aplikacija na izlaz QS-a.

Tokovi događaja imaju različita svojstva koja vam omogućavaju da razlikujete različite vrste tokova. Prije svega, tokovi mogu biti homogeni ili nehomogeni.
Homogeni tokovi su oni tokovi u kojima tok zahtjeva ima ista svojstva: imaju prioritet prvi koji je došao – prvi uslužen, obrađeni zahtjevi imaju ista fizička svojstva.
Heterogeni tokovi su oni tokovi u kojima zahtjevi imaju nejednaka svojstva: zahtjevi su zadovoljeni po principu prioriteta (na primjer, mapa prekida u računaru), obrađeni zahtjevi imaju različita fizička svojstva.
Šematski, heterogeni tok događaja može se opisati na sljedeći način

Shodno tome, nekoliko QS modela se može koristiti za servisiranje heterogenih tokova: jednokanalni QS sa disciplinom reda koja uzima u obzir prioritete heterogenih zahtjeva i višekanalni QS sa pojedinačnim kanalom za svaki tip zahtjeva.
Regularni tok je tok u kojem događaji slijede jedan za drugim u pravilnim intervalima. Ako označimo sa – trenutke nastanka događaja, i sa , i intervalima između događaja, onda za pravilan tok

Rekurentni tok je prema tome definiran kao tok za koji sve funkcije distribucije intervala između zahtjeva

meč, tj

Fizički, rekurentni tok je niz događaja za koji se čini da se svi intervali između događaja „ponašaju“ na isti način, tj. pridržavati se istog zakona o raspodjeli. Tako je moguće proučavati samo jedan interval i dobiti statističke karakteristike koje će važiti za sve ostale intervale.
Za karakterizaciju tokova vrlo često se u obzir uzima vjerovatnoća distribucije broja događaja u datom vremenskom intervalu, koja se definira na sljedeći način:

gdje je broj događaja koji se pojavljuju u intervalu.
Protok bez naknadnog efekta karakteriše svojstvo da za dva nepreklapajuća vremenska intervala i , gde , , , verovatnoća pojave broja događaja u drugom intervalu ne zavisi od broja pojavljivanja događaja u prvom interval.

Odsustvo naknadnog efekta znači odsustvo vjerovatnoće zavisnosti naknadnog toka procesa od prethodnog. Ako postoji jednokanalni QS sa vremenom usluge, onda će sa protokom zahtjeva bez naknadnog efekta na ulazu sistema, izlazni tok imati naknadni učinak, budući da se aplikacije na izlazu QS-a ne pojavljuju češće od interval. U redovnom toku, u kojem događaji slijede jedan za drugim u određenim intervalima, dolazi do najteže posljedice.
Tok s ograničenim naknadnim efektom je tok za koji su intervali između događaja nezavisni.
Protok se naziva stacionarnim ako vjerovatnoća pojave određenog broja događaja u vremenskom intervalu zavisi samo od dužine tog intervala i ne zavisi od njegovog položaja na vremenskoj osi. Za stacionarni tok događaja, prosječan broj događaja po jedinici vremena je konstantan.
Uobičajeni tok je tok za koji je vjerovatnoća da će se dva ili više zahtjeva pojaviti u datom kratkom vremenskom periodu dt zanemarljivo mala u poređenju sa vjerovatnoćom da se dogodi jedan zahtjev.
Protok koji ima svojstva stacionarnosti, odsustva naknadnog efekta i običnosti naziva se Poisson (najjednostavniji). Ovaj tok zauzima centralno mjesto među čitavom raznolikošću tokova, baš kao i slučajne varijable ili procesi sa normalnim zakonom raspodjele u primijenjenoj teoriji vjerovatnoće.
Poissonov tok je opisan sljedećom formulom:
,
gdje je vjerovatnoća događaja koji se dešavaju tokom vremena, a intenzitet protoka.
Brzina protoka je prosječan broj događaja koji se dešavaju u jedinici vremena.
Za Poissonov tok, vremenski intervali između zahtjeva su raspoređeni prema eksponencijalnom zakonu

Tok s ograničenim naknadnim efektom, za koji su vremenski intervali između zahtjeva raspoređeni prema normalnom zakonu, naziva se normalni tok.

Zakoni službe

Način rada (vrijeme usluge), kao i način prijema zahtjeva, može biti konstantan ili nasumičan. U mnogim slučajevima, servisna vremena prate eksponencijalnu distribuciju.
Vjerovatnoća da će se usluga završiti prije vremena t je:

gdje je gustina protoka aplikacija
Odakle dolazi gustina raspodjele vremena usluge?

Daljnja generalizacija eksponencijalnog zakona usluge može biti Erlangov zakon distribucije, kada svaki servisni interval poštuje zakon:

gdje je intenzitet originalnog Poissonovog toka, k je red Erlangovog toka.

Kriterijumi za kvalitet rada QS-a

Efikasnost QS-a se ocjenjuje različitim indikatorima u zavisnosti od kola i tipa QS-a. Najrasprostranjeniji su sljedeći:

Apsolutna propusnost sistema sa kvarovima (performanse sistema) je prosječan broj zahtjeva koje sistem može obraditi.

Relativni kapacitet QS-a je odnos prosječnog broja zahtjeva koje sistem obrađuje i prosječnog broja zahtjeva primljenih na ulazu QS-a.

Prosječno trajanje zastoja sistema.

Za QS sa redom, dodaju se sljedeće karakteristike:
Dužina reda, koja zavisi od niza faktora: kada i koliko je zahteva ušlo u sistem, koliko je vremena utrošeno na servisiranje pristiglih zahteva. Dužina reda je slučajna varijabla. Efikasnost sistema čekanja zavisi od dužine reda čekanja.

Za QS sa ograničenim čekanjem u redu, sve navedene karakteristike su važne, ali za sisteme sa neograničenim čekanjem, apsolutni i relativni protok QS-a postaju besmisleni.

Na sl. 1 prikazuje servisne sisteme različitih konfiguracija.

Parametri modela reda čekanja. Prilikom analize masovnih sistema za održavanje se koriste tehničke i ekonomske karakteristike.

Najčešće korištene specifikacije su:

1) prosečno vreme koje klijent provede u redu čekanja;

2) prosečna dužina čekanja;

3) prosečno vreme koje klijent provede u uslužnom sistemu (vreme čekanja plus vreme usluge);

4) prosečan broj klijenata u sistemu usluga;

5) vjerovatnoća da će servisni sistem biti u stanju mirovanja;

6) verovatnoća postojanja određenog broja klijenata u sistemu.

Među ekonomskim karakteristikama, najveći interes su:

1) troškovi čekanja u redu;

2) troškovi čekanja u sistemu;

3) troškovi usluga.

Modeli sistema čekanja. U zavisnosti od kombinacije navedenih karakteristika, mogu se razmatrati različiti modeli sistema čekanja.

Ovdje ćemo pogledati nekoliko najpoznatijih modela. Svi imaju sljedeće zajedničke karakteristike:

A) Poissonova raspodjela vjerovatnoća prijema prijava;

B) standardno ponašanje kupaca;

C) FIFO (prvi ušao, prvi izašao) servisno pravilo;

D) jedna faza održavanja.

I. Model A - model jednokanalnog sistema čekanja M/M/1 sa Poissonovim ulaznim tokom zahtjeva i eksponencijalnim vremenom usluge.

Najčešći problemi sa čekanjem su oni sa jednim kanalom. U ovom slučaju, korisnici formiraju jedan red do jedne servisne tačke. Pretpostavimo da su za sisteme ovog tipa ispunjeni sljedeći uslovi:

1. Zahtjevi se poslužuju po principu prvi ušao, prvi izašao (FIFO), pri čemu svaki korisnik čeka do kraja svog reda, bez obzira na dužinu reda.

2. Pojava prijava su nezavisni događaji, ali je prosječan broj primljenih prijava po jedinici vremena nepromijenjen.

3. Proces prijema aplikacija je opisan Poissonovom distribucijom, a aplikacije dolaze iz neograničenog skupa.

4. Vrijeme usluge je opisano eksponencijalnom distribucijom vjerovatnoće.

5. Stopa usluge je viša od stope primljenih zahtjeva.

Neka je λ broj aplikacija u jedinici vremena;

μ – broj usluženih klijenata u jedinici vremena;

n – broj aplikacija u sistemu.

Tada se sistem čekanja opisuje jednadžbama datim u nastavku.

Formule za opis M/M/1 sistema:

Prosječno vrijeme usluživanja jednog klijenta u sistemu (vrijeme čekanja plus vrijeme usluge);

Prosječan broj kupaca u redu;

Prosječno vrijeme čekanja kupaca u redu;

Karakteristike opterećenja sistema (proporcija vremena tokom kojeg je sistem zauzet održavanjem);

Vjerovatnoća da nema aplikacija u sistemu;

Vjerovatnoća da postoji više od K aplikacija u sistemu.

II. Model B je višekanalni M/M/S servisni sistem. U višekanalnom sistemu, dva ili više kanala su otvorena za servis. Pretpostavlja se da korisnici čekaju u opštem redu i kontaktiraju prvi dostupni kanal usluge.

Primjer takvog višekanalnog jednofaznog sistema može se vidjeti u mnogim bankama: iz općeg reda, klijenti idu do prvog slobodnog prozora za uslugu.

U višekanalnom sistemu, tok zahtjeva je podređen Poissonovom zakonu, a vrijeme usluge je podložno eksponencijalnom zakonu. Prvi dođe prvi se servira prvi i svi kanali usluge rade istim tempom. Formule koje opisuju model B prilično su složene za korištenje. Za izračunavanje parametara višekanalnog servisnog sistema, prikladno je koristiti odgovarajući softver.

Vrijeme koje je aplikacija provela u redu čekanja;

Vrijeme kada je aplikacija bila u sistemu.

III. Model C je model sa konstantnim servisnim vremenom M/D/1.

Neki sistemi imaju konstantna, a ne eksponencijalno raspoređena vremena usluge. U takvim sistemima, kupci se opslužuju u određenom vremenskom periodu, kao na primer u automatskoj autopraonici. Za model C sa konstantnom stopom usluge, vrijednosti Lq i Wq su dva puta manje od odgovarajućih vrijednosti u modelu A, koji ima varijabilnu stopu usluge.

Formule koje opisuju model C:

Prosječna dužina reda čekanja;

Prosječno vrijeme čekanja u redu;

Prosječan broj klijenata u sistemu;

Prosječno vrijeme čekanja u sistemu.

IV. Model D je model ograničene populacije.

Ako je broj potencijalnih klijenata uslužnog sistema ograničen, radi se o posebnom modelu. Takav zadatak može nastati, na primjer, ako je riječ o servisiranju opreme fabrike sa pet mašina.

Posebnost ovog modela u odnosu na tri prethodno razmatrana je da postoji međuzavisnost između dužine reda čekanja i stope prijema aplikacija.

V. Model E - model sa ograničenim redom čekanja. Model se razlikuje od prethodnih po tome što je broj mjesta u redu čekanja ograničen. U ovom slučaju, aplikacija koja stigne u sistem kada su svi kanali i mjesta u redu zauzeti ostavlja sistem neusluga, tj. biva odbijena.

Kao poseban slučaj modela sa ograničenim redom, možemo uzeti u obzir model sa greškama ako se broj mesta u redu redukuje na nulu.

4. TEORIJA USLUGE REDOVA

4.1. Klasifikacija sistema čekanja i indikatori njihovih performansi

Sistemi u kojima se zahtjevi za uslugom javljaju u nasumično vrijeme i postoje uređaji za servisiranje tih zahtjeva nazivaju se sistemi čekanja(SMO).

QS se može klasificirati na osnovu organizacije usluge na sljedeći način:

Sistemi za kvarove nemaju redove.

Sistemi čekanja imaju redove.

Aplikacija primljena kada su svi kanali za usluge zauzeti:

Ostavlja sistem sa kvarovima;

Redovi za uslugu u sistemima na čekanju sa neograničenim redom ili za prazno mesto sa ograničenim redom;

Ostavlja sistem da čeka ograničeni red ako u tom redu nema slobodnog prostora.

Kao mjera efikasnosti ekonomskog QS-a, količina izgubljenog vremena se smatra:

Čekanje u redu;

Zastoji servisnih kanala.

Za sve vrste QS-a koriste se: indikatori učinka :

- relativna propusnost - ovo je prosječan udio dolaznih aplikacija koje servisira sistem;

- apsolutna propusnost - ovo je prosječan broj zahtjeva koje sistem opslužuje po jedinici vremena;

- vjerovatnoća neuspjeha - ovo je vjerovatnoća da će aplikacija ostaviti sistem bez usluge;

- prosječan broj zauzetih kanala - za višekanalni QS.

Indikatori učinka QS-a se izračunavaju pomoću formula iz posebnih priručnika (tabela). Početni podaci za takve proračune su rezultati QS modeliranja.

4.2. Modeliranje sistema čekanja:

osnovni parametri, graf stanja

Uz svu raznolikost SMO-a, imaju zajedničke karakteristike , koji omogućavaju objedinjavanje njihovog modeliranja pronaći najefikasnije opcije za organizovanje takvih sistema .

Da biste modelirali QS, morate imati sljedeće početne podatke:

Glavni parametri;

Grafikon stanja.

Rezultati modeliranja QS-a su vjerovatnoće njegovih stanja, kroz koje se iskazuju svi indikatori njegove efektivnosti.

Glavni parametri za modeliranje QS-a uključuju:

Karakteristike dolaznog toka zahtjeva za uslugu;

Karakteristike servisnog mehanizma.

Hajde da razmotrimo X karakteristike toka aplikacije .

Tok aplikacija - redoslijed primljenih zahtjeva za uslugu.

Intenzitet toka aplikacije - prosječan broj prijava primljenih od strane QS-a po jedinici vremena.

Tokovi aplikacija mogu biti jednostavni i različiti od jednostavnih.

Za najjednostavnije tokove zahtjeva koriste se QS modeli.

Najjednostavniji , ili Poisson zove se potok koji je stacionarno, single iu njemu nema naknadnih efekata.

Stacionarnost znači da intenzitet primljenih aplikacija ostaje konstantan tokom vremena.

Single tok aplikacija je slučaj kada je u kratkom vremenskom periodu vjerovatnoća primanja više od jedne aplikacije blizu nule.

Nema naknadnih efekata je da broj prijava koje je QS primio tokom jednog vremenskog intervala ne utiče na broj aplikacija primljenih tokom drugog vremenskog intervala.

Za različite tokove aplikacija osim najjednostavnijih, koriste se simulacijski modeli.

Hajde da razmotrimo karakteristike servisnog mehanizma .

Mehanizam servisa karakteriše:

- broj servisni kanali ;

Performanse kanala, ili intenzitet usluge - prosječan broj zahtjeva koje opslužuje jedan kanal u jedinici vremena;

Disciplina u redu čekanja (npr. volumen reda , red odabira od reda do mehanizma usluge itd.).

Grafikon stanja opisuje funkcionisanje uslužnog sistema kao prelaze iz jednog stanja u drugo pod uticajem toka zahteva i njihove usluge.

Da biste napravili QS graf stanja potrebno je:

Napravite listu svih mogućih stanja QS-a;

Grafički predstaviti navedena stanja i strelicama prikazati moguće prijelaze između njih;

Odmjerite prikazane strelice, odnosno dodijelite im numeričke vrijednosti intenziteta prijelaza, određene intenzitetom toka zahtjeva i intenzitetom njihovog servisiranja.

4.3. Izračunavanje vjerovatnoća stanja

sistemi čekanja

Grafikon stanja QS sa shema "smrti i rođenja" je linearni lanac, gdje svako od srednjih stanja ima direktne i inverzne veze sa svakim od susjednih stanja, a ekstremna stanja sa samo jednim susjedom:

Broj država u koloni je jedan više od ukupnog broja servisnih kanala i mjesta u redu.

QS može biti u bilo kojem od svojih mogućih stanja, stoga je očekivani intenzitet izlaska iz bilo kojeg stanja jednak očekivanom intenzitetu ulaska sistema u ovo stanje. Dakle, sistem jednačina za određivanje vjerovatnoća stanja za najjednostavnije tokove će imati oblik:

gdje je vjerovatnoća da je sistem u stanju

- intenzitet tranzicije, odnosno prosječan broj prijelaza sistema po jedinici vremena iz stanja u stanje.

Koristeći ovaj sistem jednačina, kao i jednad.

vjerovatnoća bilo kojeg -tog stanja može se izračunati na sljedeći način opšte pravilo :

vjerovatnoća nultog stanja se izračunava kao

a zatim se uzima razlomak čiji je brojilac proizvod svih intenziteta strujanja duž strelica koje vode s lijeva na desno od stanja do stanja, a nazivnik je proizvod svih intenziteta duž strelica koje idu s desna na lijevo od stanja do stanja, a ovaj razlomak se množi sa izračunatom vjerovatnoćom

Zaključci o četvrtom dijelu

Sistemi čekanja imaju jedan ili više servisnih kanala i mogu imati ograničen ili neograničen red (sistemi čekanja) zahtjeva za uslugom ili bez reda (sistemi za kvar). Zahtjevi za uslugu javljaju se u nasumično vrijeme. Sisteme čekanja karakterišu sledeći indikatori performansi: relativna propusnost, apsolutna propusnost, verovatnoća kvara, prosečan broj zauzetih kanala.

Modeliranje sistema redova čekanja vrši se u cilju pronalaženja najefikasnijih opcija za njihovu organizaciju i pretpostavlja sljedeće početne podatke za to: osnovni parametri, graf stanja. Takvi podaci uključuju sljedeće: intenzitet toka aplikacija, broj servisnih kanala, intenzitet usluge i volumen reda čekanja. Broj stanja na grafu je za jedan veći od zbira broja servisnih kanala i mjesta u redu čekanja.

Proračun vjerovatnoća stanja sistema čekanja sa šemom “smrt i rođenje” se vrši prema opštem pravilu.

Pitanja za samotestiranje

Koji sistemi se nazivaju sistemi čekanja?

Kako se klasifikuju sistemi čekanja na osnovu njihove organizacije?

Koji sistemi čekanja se nazivaju sistemi kvarova, a koji sistemi čekanja?

Šta se dešava sa aplikacijom primljenom u trenutku kada su svi kanali usluga zauzeti?

Šta se smatra mjerom efikasnosti ekonomskog sistema čekanja?

Koji se indikatori performansi koriste za sistem čekanja?

Šta služi kao početni podaci za izračunavanje indikatora efikasnosti sistema čekanja?

Koji su početni podaci potrebni za modeliranje sistema čekanja?

Kakvi su rezultati modeliranja sistema čekanja kroz koji se iskazuju svi pokazatelji njegove efikasnosti?

Koji su glavni parametri za modeliranje sistema čekanja?

Kako se karakteriziraju tokovi zahtjeva za uslugu?

Koje su karakteristike servisnih mehanizama?

Šta opisuje graf stanja sistema čekanja?

Šta je potrebno da se napravi graf stanja sistema čekanja?

Šta je graf stanja sistema čekanja sa šablonom „smrt i rođenje“?

Koliki je broj stanja u grafu stanja sistema čekanja?

Kakav oblik ima sistem jednačina za određivanje vjerovatnoća stanja sistema čekanja?

Koje opšte pravilo se koristi za izračunavanje verovatnoće bilo kog stanja sistema čekanja?

Primjeri rješavanja problema

1. Konstruirajte graf stanja sistema čekanja i navedite glavne zavisnosti njegovih indikatora performansi.

A) n-kanalni QS sa kvarovima (Erlang problem)

Glavni parametri:

kanali,

Intenzitet protoka,

Intenzitet usluge.

Moguća stanja sistema:

Svi kanali su zauzeti (zahtjevi u sistemu).

Grafikon stanja:

Relativna propusnost,

vjerovatnoća neuspjeha,

Prosječan broj zauzetih kanala.

b) n-kanalni QS sa m-ograničeni red

Moguća stanja sistema:

Svi kanali su besplatni (nula zahtjeva u sistemu);

Jedan kanal je zauzet, ostali su slobodni (jedan zahtjev u sistemu);

Dva kanala su zauzeta, ostali slobodni (dva zahtjeva u sistemu);

...................................................................................

Svi kanali su zauzeti, dva zahtjeva su u redu;

Svi kanali su zauzeti, aplikacije su u redu.

Grafikon stanja:

c) Jednokanalni QS sa neograničenim redom čekanja

Moguća stanja sistema:

Svi kanali su besplatni (nula zahtjeva u sistemu);

Kanal je zauzet, nema zahtjeva u redu čekanja;

Kanal zauzet, jedan zahtjev u redu;

...................................................................................

Kanal je zauzet, aplikacija je u redu čekanja;

....................................................................................

Grafikon stanja:

Indikatori efikasnosti sistema:

Prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu ,

Apsolutna propusnost,

Relativna propusnost.

G) n-kanalni QS sa neograničenim redom čekanja

Moguća stanja sistema:

Svi kanali su besplatni (nula zahtjeva u sistemu);

Jedan kanal je zauzet, ostali su slobodni (jedan zahtjev u sistemu);

Dva kanala su zauzeta, ostali slobodni (dva zahtjeva u sistemu);

...................................................................................

Svi kanali su zauzeti (zahtjevi u sistemu), nula zahtjeva je u redu;

Svi kanali su zauzeti, jedan zahtjev je u redu;

....................................................................................

Svi kanali su zauzeti, aplikacije su u redu;

....................................................................................

Grafikon stanja:

Indikatori efikasnosti sistema:

Prosječan broj zauzetih kanala,

Prosječan broj aplikacija u sistemu ,

Prosječan broj aplikacija u redu čekanja ,

Prosječno vrijeme koje aplikacija provede u redu čekanja .

2. Računarski centar ima tri računara. Centar u prosjeku dobije četiri zadatka po satu za rješavanje. Prosječno vrijeme rješavanja jednog problema je pola sata. Računarski centar prihvata i stavlja u red do tri zadatka za rešavanje. Potrebno je procijeniti efikasnost centra.

RJEŠENJE. Iz uslova je jasno da imamo višekanalni QS sa ograničenim redom čekanja:

Broj kanala;

Intenzitet toka aplikacije (zadatak/sat);

Vrijeme usluge za jedan zahtjev (sat/zadatak), intenzitet usluge (zadatak/sat);

Dužina čekanja.

Lista mogućih stanja:

Nema zahtjeva, svi kanali su besplatni;

Jedan kanal je zauzet, dva su slobodna;

Dva kanala su zauzeta, jedan je slobodan;

Tri kanala su zauzeta;

Tri kanala su zauzeta, jedan zahtjev je u redu;

Tri kanala su zauzeta, dva zahtjeva su u redu;

Tri kanala su zauzeta, tri aplikacije su u redu.

Grafikon stanja:

Izračunajmo vjerovatnoću stanja:

Indikatori učinka:

Verovatnoća kvara (sva tri računara su zauzeta, a tri aplikacije su u redu)

Relativna propusnost

Apsolutna propusnost

Prosječan broj zauzetih računara

3. (Zadatak koji koristi QS sa kvarovima.) Tri kontrolora rade u odjelu kontrole kvaliteta radionice. Ako dio stigne u odjel za kontrolu kvaliteta kada su svi inspektori zauzeti servisiranjem prethodno primljenih dijelova, onda prolazi neprovjereno. Prosječan broj dijelova koji po satu dobije odjel za kontrolu kvaliteta je 24, prosječno vrijeme koje jedan inspektor potroši na servisiranje jednog dijela je 5 minuta. Odredite vjerovatnoću da će dio proći odjel za kontrolu kvaliteta bez servisiranja, koliko su inspektori zauzeti i koliko ih je potrebno instalirati da bi (* - navedena vrijednost).

RJEŠENJE. Prema uslovima problema, dakle.

1) Vjerovatnoća zastoja servisnih kanala:

3) Vjerovatnoća usluge:

4) Prosječan broj kanala zauzetih servisiranjem:

5) Udio kanala koje zauzima servis:

6) Apsolutna propusnost:

U . Provodeći slične proračune za , dobivamo

Budući da , Zatim nakon što je napravio proračune za , Dobijamo

ODGOVOR. Vjerovatnoća da će dio proći kontrolu kvaliteta bez servisiranja je 21%, a inspektori će biti zauzeti održavanjem 53%.

Da bi se osigurala vjerovatnoća usluge veća od 95%, potrebno je najmanje pet supervizora.

4. (Problem sa korišćenjem QS-a sa neograničenim čekanjem.) Štedionica ima tri kontrolora blagajne () za opsluživanje štediša. Protok štediša ulazi u štedionicu po stopi ljudi po satu. Prosječno trajanje usluge od strane kontrolora blagajne za jednog deponenta min.

Odrediti karakteristike štedionice kao CMO objekta.

RJEŠENJE. Intenzitet protoka usluge, intenzitet opterećenja.

1) Verovatnoća zastoja blagajnika u toku radnog dana (vidi prethodni zadatak br. 3):

2) Vjerovatnoća da će svi blagajnici biti zauzeti:

3) Vjerovatnoća čekanja u redu:

4) Prosječan broj prijava u redu:

5) Prosječno vrijeme čekanja na aplikaciju u redu čekanja:

min.

6) Prosječno vrijeme boravka aplikacije u CMO-u:

7) Prosječan broj besplatnih kanala:

8) Popunjenost servisnih kanala:

9) Prosečan broj posetilaca štedionice:

ODGOVOR. Verovatnoća da blagajnici ne rade je 21% radnog vremena, verovatnoća da će posetilac biti u redu je 11,8%, prosečan broj posetilaca u redu je 0,236 ljudi, prosečno vreme čekanja posetilaca na uslugu je 0,472 minuta.

5. (Problem sa korišćenjem QS-a sa čekanjem i ograničenom dužinom reda.) Prodavnica prima rano povrće iz prigradskih plastenika. Automobili sa teretom dolaze u različito vrijeme sa intenzitetom automobila po danu. Pomoćne prostorije i oprema za pripremu povrća za prodaju omogućavaju preradu i skladištenje robe koju dovoze dva vozila (). U radnji su zaposlena tri pakera (), od kojih svaki u prosjeku može preraditi robu sa jedne mašine u roku od sat vremena. Radni dan u smjenskom radu je 12 sati.

Odrediti koliki bi trebao biti kapacitet pomoćnih prostorija da bi bila vjerovatnoća potpune obrade robe.

RJEŠENJE. Odredimo intenzitet utovara pakera:

Auto/dan

1) Pronađimo vjerovatnoću zastoja za pakere u nedostatku mašina (zahtjeva):

i 0!=1.0.

2) Vjerovatnoća uskraćivanja usluge:

3) Vjerovatnoća usluge:

Jer , napravimo slične proračune za , dobijamo), a vjerovatnoća potpune obrade robe će biti .

Zadaci za samostalan rad

Za svaku od sljedećih situacija odredite:

a) kojoj klasi QS objekat pripada;

b) broj kanala;

c) dužina reda;

d) intenzitet toka aplikacija;

e) intenzitet usluge po jednom kanalu;

f) broj svih stanja QS objekta.

U svojim odgovorima navedite značenje svake stavke, koristeći sljedeće skraćenice i dimenzije:

a) OO – jednokanalni sa kvarovima; MO – višekanalni sa kvarovima; OZHO – jednokanalni sa čekanjem sa ograničenim redom; OZHN - jednokanalni sa čekanjem sa neograničenim redom; MJO – višekanalni sa ograničenim čekanjem u redu; MZHN - višekanalni sa čekanjem sa neograničenim redom čekanja;

b) =… (jedinice);

c) =… (jedinice);

d) =xxx/xxx(jedinice/min);

e) =xxx/xxx(jedinice/min);

f) (jedinice).

1. Dežurni službenik gradske uprave ima pet telefona. Telefonski pozivi se primaju brzinom od 90 poziva na sat, prosječno trajanje poziva je 2 minute.

2. Na parkingu kod prodavnice nalaze se 3 mesta od kojih je svako rezervisano za jedno vozilo. Automobili dolaze na parking brzinom od 20 automobila na sat. Trajanje boravka automobila na parkingu je u prosjeku 15 minuta. Parkiranje na kolovozu nije dozvoljeno.

3. PBX preduzeća obezbeđuje ne više od 5 razgovora istovremeno. Prosečno trajanje poziva je 1 minut. Stanica u prosjeku prima 10 poziva u sekundi.

4. Teretna riječna luka prima u prosjeku 6 suhih teretnih brodova dnevno. Luka ima 3 dizalice, od kojih svaka opslužuje 1 suhi teretni brod u prosjeku za 8 sati. Brodovi za rasute terete koji čekaju servis su na putu.

5. Seoska ambulanta ima 3 dispečera koji dežuraju 24 sata dnevno, koji servisiraju 3 telefonska aparata. Ako se primi zahtjev da se pacijentu pozove doktor kada su dispečeri zauzeti, pretplatnik se odbija. Protok zahtjeva je 4 poziva u minuti. Ispunjavanje aplikacije traje u prosjeku 1,5 minuta.

6. Frizerski salon ima 4 frizera. Dolazni tok posjetilaca ima intenzitet od 5 ljudi na sat. Prosečno vreme usluživanja jednog klijenta je 40 minuta. Dužina reda čekanja za uslugu smatra se neograničenom.

7. Benzinska pumpa ima 2 pumpe za točenje benzina. U blizini stanice nalazi se prostor za 2 automobila za čekanje benzina. U prosjeku, jedan automobil stiže na stanicu svaka 3 minute. Prosečno servisno vreme za jednu mašinu je 2 minuta.

8. Na stanici tri majstora rade u servisnoj radionici. Ako klijent uđe u radionicu kada su svi majstori zauzeti, onda on napušta radionicu ne čekajući servis. Prosječan broj klijenata koji posjete radionicu u toku 1 sata je 20. Prosječno vrijeme koje majstor potroši na servisiranje jednog klijenta je 6 minuta.

9. Seoska PBX pruža ne više od 5 razgovora istovremeno. Prosečno vreme pregovaranja je oko 3 minuta. Pozivi ka stanici stižu u prosjeku svaka 2 minute.

10. Na benzinskoj pumpi (benzinskoj pumpi) postoje 3 pumpe. Područje na stanici gdje automobili čekaju na punjenje ne može primiti više od jednog automobila, a ako je zauzeto, onda sljedeći automobil koji stiže na stanicu ne stoji u redu, već ide do sljedeće stanice. U prosjeku, automobili dolaze na stanicu svake 2 minute. Proces punjenja jednog automobila traje u prosjeku 2,5 minuta.

11. U maloj radnji kupce opslužuju dva prodavca. Prosječno vrijeme usluživanja jednog kupca je 4 minute. Intenzitet protoka kupaca je 3 osobe u minuti. Kapacitet radnje je takav da u redu ne može biti više od 5 ljudi. Mušterija koja dođe u prepunu radnju kada je već 5 ljudi u redu ne čeka vani i odlazi.

12. Željezničku stanicu turističkog naselja opslužuje blagajna sa dva prozora. Vikendom, kada stanovništvo aktivno koristi željeznicu, protok putnika je 0,9 osoba/min. Blagajnik u prosjeku usluži putnika 2 minute.

Za svaku od QS opcija navedenih u opcijama, intenzitet toka zahtjeva jednak je intenzitetu usluge po jednom kanalu. Obavezno:

Napravite listu mogućih uslova;

Konstruirajte graf stanja prema shemi “smrt i reprodukcija”.

U svom odgovoru navedite za svaki zadatak:

Broj stanja sistema;

Intenzitet prijelaza iz posljednjeg stanja u pretposljednje.

Opcija #1

1. jednokanalni QS sa dužinom reda čekanja od 1 zahtjeva

2. 2-kanalni QS sa kvarovima (Erlang problem)

3. 31-kanalni QS sa 1-ograničenim redom čekanja

5. 31-kanalni QS sa neograničenim redom čekanja

Opcija br. 2

1. jednokanalni QS sa dužinom reda čekanja od 2 zahtjeva

2. 3-kanalni QS sa kvarovima (Erlang problem)

3. 30-kanalni QS sa 2-ograničenim redom čekanja