Indikatorer for operasjonell effektivitet se. I en praktisk leksjon vil vi vurdere denne banen og sammenligne simuleringsresultatene med den teoretiske løsningen Effektivitetsindikatorer for køsystemer

I alle QS-ene diskutert ovenfor, ble det antatt at alle forespørsler som kommer inn i systemet er homogene, det vil si at de har samme lov om fordeling av tjenestetid og betjenes i systemet i henhold til den generelle disiplinen for valg fra køen. I mange reelle systemer er imidlertid forespørsler som kommer inn i systemet heterogene både i fordelingen av tjenestetid og i deres verdi for systemet, og derfor retten til å kreve prioritert tjeneste på det tidspunktet enheten frigis. Slike modeller studeres innenfor rammen av teorien om prioriterte køsystemer. Denne teorien er ganske godt utviklet og mange monografier er viet til presentasjonen (se for eksempel , , , etc.). Her vil vi begrense oss til en kort beskrivelse av prioriterte systemer og vurdere ett system.

La oss vurdere en enkeltlinjes QS med venting. Uavhengige enkleste strømmer kommer til inngangen til systemet. strømmen har en intensitet på . Vi vil betegne

Tjenestetidene for forespørsler fra en strøm er preget av en distribusjonsfunksjon med Laplace-Stieltjes-transformasjonen og endelige starttider

Forespørsler fra en tråd vil bli kalt prioriterte k-forespørsler.

Vi vurderer at forespørsler fra en tråd har høyere prioritet enn forespørsler fra en tråd hvis Prioritet manifesteres i det faktum at i øyeblikket for fullføring av tjenesten, velges forespørselen med maksimal prioritet fra køen neste for tjeneste. Forespørsler som har samme prioritet velges i henhold til etablert tjenestedisiplin, for eksempel etter FIFO-disiplinen.

Ulike alternativer for systematferd vurderes i en situasjon der systemet mottar en forespørsel om en høyere prioritet, mens den betjener en forespørsel med en viss prioritet.

Systemet kalles en relativ prioritet QS hvis ankomsten av en slik forespørsel ikke avbryter tjenesten for forespørselen. Hvis et slikt avbrudd oppstår, kalles systemet en QS med absolutt prioritet. I dette tilfellet er det imidlertid nødvendig å avklare den videre oppførselen til forespørselen hvis tjeneste ble avbrutt. Følgende alternativer skilles ut: den avbrutte forespørselen forlater systemet og går tapt; den avbrutte forespørselen går tilbake til køen og fortsetter å betjene fra avbruddspunktet etter at alle forespørsler med høyere prioritet har forlatt systemet; den avbrutte forespørselen går tilbake til køen og begynner å betjene igjen etter at alle forespørsler med høyere prioritet har forlatt systemet. En avbrutt forespørsel betjenes av enheten etter at alle forespørsler med høyere prioritet har forlatt systemet for en tid som har samme eller annen distribusjon. Det er mulig at den nødvendige tjenestetiden i påfølgende forsøk er identisk med tiden som var nødvendig for å fullføre en gitt forespørsel i det første forsøket.

Dermed er det et ganske stort antall alternativer for oppførselen til systemet med prioritet, som kan finnes i de ovennevnte bøkene. Det som er vanlig i analysen av alle systemer med prioriteringer, er bruken av konseptet om bruksperioden for systemet ved forespørsler om prioritet k og høyere. I dette tilfellet er hovedmetoden for å studere disse systemene metoden for å introdusere en ekstra hendelse, kort beskrevet i avsnitt 6.

La oss illustrere funksjonene ved å finne egenskapene til systemer med prioriteringer ved å bruke eksempelet på systemet beskrevet i begynnelsen av avsnittet. Vi vil anta at dette er et system med relativ prioritet og finne den stasjonære fordelingen av ventetiden på en prioritetsforespørsel dersom den kom inn i systemet på tidspunkt t (den såkalte virtuelle ventetiden), for et system med relative prioriteter.

La oss betegne

Betingelsen for eksistensen av disse grensene er oppfyllelsen av ulikheten

hvor verdien beregnes med formelen:

La oss også betegne .

Uttalelse 21. Laplace-Stieltjes-transformasjonen av den stasjonære fordelingen av den virtuelle ventetiden til en prioritert forespørsel k er definert som følger:

der funksjonene er gitt av formelen:

og funksjonene finnes som løsninger på funksjonelle ligninger:

Bevis. Legg merke til at funksjonen er Laplace-Stieltjes-transformasjonen av fordelingen av lengden på systemets bruksperiode med forespørsler om prioritet I og høyere (det vil si tidsintervallet fra det øyeblikket en forespørsel om prioritet I og høyere ankommer i et tomt system og til det første øyeblikket etter det når systemet er fritt for tilstedeværelsesforespørsler med prioritet I og høyere). Beviset for at funksjonen tilfredsstiller ligning (1.118) gjentar nesten ordrett beviset fra påstand 13. Vi legger bare merke til at verdien er sannsynligheten for at perioden da systemet er opptatt med forespørsler om prioritet I og høyere begynner med ankomsten av en prioritet forespørsel, og verdien tolkes som sannsynligheten for at en katastrofe ikke skal inntreffe og ber om prioritet I og høyere, for travle perioder generert av en katastrofe, i løpet av tjenesten for den prioriterte forespørselen som startet denne travle perioden.

Først, i stedet for en prosess, bør du vurdere en betydelig enklere hjelpeprosess - tiden som en forespørsel med prioritet k ville vente med å begynne å betjene hvis den kom inn i systemet på tidspunkt t og etter det ingen forespørsler med høyere prioritet kom inn i systemet.

La være Laplace-Stieltjes-transformasjonen av fordelingen av en tilfeldig variabel. La oss vise at funksjonen er definert som følger:

(1.119)

Sannsynligheten for at systemet er tomt om gangen er sannsynligheten for at service av en prioritert forespørsel har begynt i intervallet

For å bevise (1.119), bruker vi metoden for å introdusere en ekstra hendelse. Anta at, uavhengig av hvordan systemet fungerer, kommer en enkel strøm av katastrofer med intensitet s. Vi vil kalle hver forespørsel "dårlig" hvis en katastrofe inntreffer under servicen, og "god" ellers. Som det følger av påstandene 5 og 6, er strømmen av dårlige forespørsler med prioritet k og høyere den enkleste med intensitet

La oss introdusere hendelsen A(s,t) - i løpet av tiden t har systemet ikke mottatt noen dårlige forespørsler med prioritet k eller høyere. I kraft av påstand 1 beregnes sannsynligheten for denne hendelsen som:

La oss beregne denne sannsynligheten annerledes. Hendelse A(s,t) er en forening av tre inkompatible hendelser

Hendelsen er at ingen katastrofer ankom verken i løpet av tiden t eller i løpet av tiden. I dette tilfellet kom naturligvis kun gode forespørsler med prioritet k og høyere inn i systemet. Sannsynligheten for hendelsen er åpenbart lik

Hendelsen er at en katastrofe kom i intervallet, men ved ankomst var systemet tomt, og i løpet av tiden ble det ikke mottatt dårlige forespørsler med prioritet k og høyere.

Sannsynligheten for en hendelse beregnes som:

Hendelsen er at en katastrofe ankom i intervallet, men i øyeblikket for dens ankomst betjente systemet en forespørsel med prioritet under k, som begynte å bli betjent i intervall a i løpet av tiden t - og ingen dårlige forespørsler med prioritet k og høyere ble mottatt. Sannsynligheten for en hendelse bestemmes som følger:

Siden en hendelse er summen av tre inkompatible hendelser, er dens sannsynlighet summen av sannsynlighetene for disse hendelsene. Derfor

Å likestille de to oppnådde uttrykkene for sannsynlighet og multiplisere begge sider av likheten med, etter enkle transformasjoner, får vi (1.119)

For at en katastrofe ikke skal inntreffe i ventetiden for en forespørsel som kommer til tidspunkt t, er det åpenbart nødvendig og tilstrekkelig at det i løpet av tiden ikke har kommet noen katastrofer og forespørsler med prioritet og høyere, slik at i travle perioder (forespørsler fra prioritet og høyere) generert med dem, følger katastrofe. Fra disse betraktningene og den probabilistiske tolkningen av Laplace-Stieltjes-transformasjonen får vi en formel som gir sammenhengen mellom transformasjonene i en åpenbar form.

1.1. Struktur og parametere for effektiviteten og kvaliteten på funksjonen til QS

Mange økonomiske problemer er knyttet til køsystemer, d.v.s. slike systemer hvor det på den ene siden oppstår massive forespørsler (krav) for utførelse av noen tjenester, og på den andre siden blir disse forespørslene tilfredsstilt. QS inkluderer følgende elementer: kilde til krav, innkommende flyt av krav, kø, serveringsenheter (tjenestekanaler), utgående flyt av krav. Køteori studerer slike systemer.

Fasilitetene som betjener krav kalles servicerer eller servicekanaler. Disse inkluderer for eksempel drivstoffinnretninger på bensinstasjoner, telefonkommunikasjonskanaler, landingsbaner, reparatører, billettkasserer, laste- og lossepunkter på baser og varehus.

Ved å bruke metodene for køteori kan mange problemer med å studere prosesser som forekommer i økonomien løses. Ved organisering av handel gjør disse metodene det derfor mulig å bestemme det optimale antallet utsalgssteder for en gitt profil, antall selgere, leveringsfrekvensen av varer og andre parametere. Et annet typisk eksempel på køsystemer kan være bensinstasjoner, og oppgavene med køteori handler i dette tilfellet om å etablere det optimale forholdet mellom antall serviceforespørsler som kommer til en bensinstasjon og antall serviceenheter, hvor de totale kostnadene av service og tap fra nedetid ville være minimal. Teorien om kø kan også brukes ved beregning av arealet til lagerlokaler, mens lagerområdet betraktes som en serviceenhet, og ankomst av kjøretøy for lossing anses som et krav. Modeller av teorien om kø brukes også for å løse en rekke problemer med organisering og rasjonering av arbeidskraft, og andre sosioøkonomiske problemer.

Hver QS inkluderer i sin struktur et visst antall tjenesteenheter, kalt servicekanaler (disse kan inkludere personer som utfører visse operasjoner - kasserere, operatører, ledere, etc.) som betjener en viss strøm av applikasjoner (krav), som kommer til innspillet tilfeldig. ganger. Service av applikasjoner skjer på ukjent, vanligvis tilfeldig tid og avhenger av mange forskjellige faktorer. Etter å ha utført forespørselen er kanalen frigjort og klar til å motta neste forespørsel. Den tilfeldige karakteren av strømmen av applikasjoner og tidspunktet for deres service fører til ujevn belastning av QS - overbelastning med dannelse av køer av applikasjoner eller underbelastning - med tomgang i kanalene. Tilfeldigheten i strømmen av forespørsler og varigheten av tjenesten deres gir opphav til en tilfeldig prosess i QS, hvis studie krever konstruksjon og analyse av dens matematiske modell. Studiet av funksjonen til QS er forenklet hvis den tilfeldige prosessen er Markovian (en prosess uten ettervirkninger, eller uten minne), når driften av QS enkelt beskrives ved bruk av endelige systemer med vanlige lineære differensialligninger av første orden, og i begrensende modus (med en tilstrekkelig lang drift av QS) ved hjelp av endelige systemer lineære algebraiske ligninger. Som et resultat uttrykkes indikatorer på effektiviteten av funksjonen til QS gjennom parametrene til QS, flyten av applikasjoner og disiplin.

Det er kjent fra teorien at for at en tilfeldig prosess skal være markovsk, er det nødvendig og tilstrekkelig at alle strømmer av hendelser (strømmer av applikasjoner, strømmer av serviceapplikasjoner, etc.), under påvirkning av hvilke overganger av systemet fra stat til stat til tilstand oppstår, er Poisson, dvs. hadde egenskapene konsekvens (for alle to ikke-overlappende tidsintervaller avhenger ikke antall hendelser som inntreffer under den ene av antall hendelser som skjer etter den andre) og ordinæritet (sannsynligheten for at mer enn én hendelse inntreffer i løpet av en elementær, eller liten, tidsperiode er ubetydelig sammenlignet med sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i løpet av denne tidsperioden). For den enkleste Poisson-strømmen er den tilfeldige variabelen T (tidsintervallet mellom to nabohendelser) fordelt i henhold til en eksponentiell lov, som representerer dens fordelingstetthet eller differensialfordelingsfunksjon.

Hvis arten av strømmer i en QS er forskjellig fra Poisson, kan dens effektivitetsegenskaper bestemmes omtrentlig ved å bruke Markov-teorien om kø, og jo mer nøyaktig, jo mer kompleks er QS, og jo flere tjenestekanaler har den. I de fleste tilfeller krever ikke gyldige anbefalinger for praktisk styring av en QS kunnskap om dens eksakte egenskaper. Det er nok å ha deres omtrentlige verdier.

Hver QS, avhengig av parameterne, har en viss driftseffektivitet.

Effektiviteten av funksjonen til QS er preget av tre hovedgrupper av indikatorer:

1. Effektivitet ved bruk av QS – absolutt eller relativ gjennomstrømning, gjennomsnittlig varighet av QS-opptatt periode, QS-utnyttelsesgrad, QS-ikke-bruk-forhold;

2. Kvalitet på betjening av applikasjoner - gjennomsnittlig tid (gjennomsnittlig antall applikasjoner, distribusjonslov) for å vente på en applikasjon i en kø eller opphold av en applikasjon i QS; sannsynligheten for at den mottatte søknaden umiddelbart vil bli akseptert for utførelse;

3. Effektiviteten av funksjonen til et par CMO-forbruker, og forbrukeren forstås som et sett med applikasjoner eller en kilde til dem (for eksempel den gjennomsnittlige inntekten brakt av CMO per enhet driftstid, etc.) .

1.2 Klassifisering av QS og deres hovedelementer

QS klassifiseres i ulike grupper avhengig av sammensetningen og tiden brukt i køen før tjenestestart, og disiplinen til serviceforespørsler.

I henhold til sammensetningen av QS er det enkeltkanal (med en serveringsenhet) og multikanal (med et stort antall serveringsenheter). Flerkanalssystemer kan bestå av tjenesteenheter med både samme og ulik ytelse.

Basert på tidskravene som gjenstår i køen før service starter, er systemene delt inn i tre grupper:

1) med ubegrenset ventetid (med venting),

2) med avslag;

3) blandet type.

I en QS med ubegrenset ventetid, kommer neste forespørsel, som finner alle enhetene opptatt, i en kø og venter på service til en av enhetene er ledig.

I systemer med feil forlater en innkommende forespørsel, som finner alle enheter opptatt, systemet. Et klassisk eksempel på et system med feil er driften av en automatisk telefonsentral.

I systemer med blandet type finner en innkommende forespørsel alle enheter opptatt, står i kø og venter på service i en begrenset tid.

La oss kort vurdere funksjonene til noen av disse systemene.

1. En QS med venting kjennetegnes ved at i et system med n (n>=1) kommer enhver forespørsel som ankommer QS i det øyeblikket alle kanaler er opptatt i en kø og venter på tjeneste, og enhver innkommende forespørsel er betjent. Et slikt system kan være i en av et uendelig antall tilstander: s n +к (r=1,2...) – alle kanaler er opptatt og det er r applikasjoner i køen.

2. En QS med venting og en begrensning på kølengde skiller seg fra ovenstående ved at dette systemet kan være i en av n+m+1 tilstander. I tilstander s 0 , s 1 ,…, s n er det ingen kø, siden det enten ikke er noen applikasjoner i systemet eller ingen i det hele tatt og kanalene er ledige (s 0), eller det er flere I (I = 1,n ) applikasjoner i systemet, som betjenes av det tilsvarende (n+1, n+2,...n+r,...,n+m) antall applikasjoner og (1,2,...r,...,m) applikasjoner som står i køen. En søknad som kommer til QS-inngangen på et tidspunkt der det allerede er m søknader i køen, avvises og lar systemet være ubetjent.

Dermed fungerer en flerkanals QS i hovedsak som en enkanals, når alle n kanalene fungerer som én med en gjensidig bistandsdisiplin kalt alle som én, men med en høyere tjenesteintensitet. Tilstandsgrafen til et slikt lignende system inneholder bare to tilstander: s 0 (s 1) - alle n kanalene er ledige (opptatte).

En analyse av ulike typer QS med gjensidig assistanse av alt-i-ett-typen viser at slik gjensidig assistanse reduserer den gjennomsnittlige tiden en applikasjon oppholder seg i systemet, men forverrer en rekke andre egenskaper som sannsynlighet for feil, gjennomstrømning, gjennomsnittlig antall søknader i køen og ventetiden for utførelse av dem. Derfor, for å forbedre disse indikatorene, brukes en endring i disiplinen for serviceforespørsler med enhetlig gjensidig assistanse mellom kanaler som følger:

· Hvis en forespørsel kommer til QS på et tidspunkt da alle kanaler er ledige, begynner alle n kanalene å betjene den;

· Hvis neste forespørsel kommer på dette tidspunktet, bytter noen av kanalene til å betjene den

· Hvis, mens de betjener disse to forespørslene, kommer en tredje forespørsel, så byttes noen av kanalene til å betjene denne tredje forespørselen, inntil hver forespørsel som ligger i QS-en betjenes av kun én kanal. I dette tilfellet kan en søknad mottatt i det øyeblikket alle kanaler er opptatt, i QS med avslag og enhetlig gjensidig bistand mellom kanaler, bli avvist og vil bli tvunget til å la systemet stå ubetjent.

Metoder og modeller brukt i køteori kan deles inn i analytisk og simulering.

Analytiske metoder for køteori gjør det mulig å oppnå egenskapene til systemet som noen funksjoner av driftsparametrene. Takket være dette blir det mulig å gjennomføre en kvalitativ analyse av påvirkningen av individuelle faktorer på effektiviteten til QS. Simuleringsmetoder er basert på datamodellering av køprosesser og brukes dersom bruk av analytiske modeller er umulig.

For tiden er de mest teoretisk utviklet og praktiske i praktiske applikasjoner metoder for å løse køproblemer der den innkommende strømmen av krav er den enkleste (Poisson).

For den enkleste flyten følger frekvensen av forespørsler som kommer inn i systemet Poisson-loven, dvs. sannsynligheten for ankomst i løpet av tiden t med nøyaktig k krav er gitt av formelen:

En viktig egenskap ved en QS er tiden det tar å betjene krav i systemet. Tjenestetiden for en forespørsel er som regel en tilfeldig variabel og kan derfor beskrives av en distribusjonslov. Den eksponentielle loven om fordeling av tjenestetid er mest brukt i teorien og spesielt i praktiske anvendelser. Fordelingsfunksjonen for denne loven har formen:

De. sannsynligheten for at tjenestetiden ikke overskrider en viss verdi t bestemmes av denne formelen, der µ er parameteren for eksponentiell service av krav i systemet, dvs. det gjensidige av tjenestetiden t rev:

La oss vurdere analytiske modeller av de vanligste QSene med forventning, dvs. slike QS der forespørsler mottatt på et tidspunkt når alle serveringskanaler er opptatt, settes i kø og betjenes etter hvert som kanalene blir ledige.

Den generelle formuleringen av problemet er som følger. Systemet har n serveringskanaler, som hver kan betjene kun én forespørsel om gangen.

Systemet mottar en enkel (paussonsk) flyt av forespørsler med parameter . Hvis det, på det tidspunktet neste forespørsel kommer, allerede er minst n forespørsler i systemet for service (dvs. alle kanaler er opptatt), så blir denne forespørselen i kø og venter på at service skal begynne.

I systemer med en bestemt tjenestedisiplin blir en innkommende forespørsel, å finne alle enheter opptatt, avhengig av prioritet, enten betjent ute av sving eller plassert i kø.

Hovedelementene i QS er: innkommende flyt av krav, kø av krav, serveringsenheter (kanaler) og utgående flyt av krav.

Studiet av QS begynner med analysen av den innkommende strømmen av krav. Den innkommende kravflyten er samlingen av krav som kommer inn i systemet og må betjenes. Den innkommende strømmen av krav studeres for å etablere mønstrene for denne strømmen og ytterligere forbedre kvaliteten på tjenesten.

I de fleste tilfeller er den innkommende strømmen ukontrollerbar og avhenger av en rekke tilfeldige faktorer. Antallet forespørsler som kommer per tidsenhet er en tilfeldig variabel. En tilfeldig variabel er også tidsintervallet mellom tilstøtende innkommende forespørsler. Gjennomsnittlig antall forespørsler mottatt per tidsenhet og gjennomsnittlig tidsintervall mellom tilstøtende innkommende forespørsler antas imidlertid å være gitt.

Gjennomsnittlig antall forespørsler som kommer inn i tjenestesystemet per tidsenhet kalles ankomsthastigheten for etterspørsel og bestemmes av følgende forhold:

hvor T er gjennomsnittsverdien av intervallet mellom ankomsten av påfølgende forespørsler.

For mange reelle prosesser er flyten av krav ganske godt beskrevet av Poissons distribusjonslov. En slik flyt kalles den enkleste.

Den enkleste strømmen har følgende viktige egenskaper:

1) Egenskapen til stasjonaritet, som uttrykker invariansen til det sannsynlige strømningsregimet over tid. Dette betyr at antall forespørsler som kommer inn i systemet med like tidsintervaller i gjennomsnitt bør være konstant. For eksempel bør antall biler som ankommer for lasting i gjennomsnitt per dag være det samme for ulike tidsperioder, for eksempel ved begynnelsen og slutten av et tiår.

2) Fravær av ettervirkning, som bestemmer den gjensidige uavhengigheten av mottak av ett eller annet antall forespørsler om tjeneste i ikke-overlappende tidsperioder. Dette betyr at antall forespørsler som kommer i løpet av en gitt tidsperiode ikke er avhengig av antall forespørsler som blir behandlet i forrige tidsperiode. For eksempel er antall kjøretøyer som kommer for materialer den tiende dagen i måneden uavhengig av antall kjøretøy som blir utført på den fjerde eller en hvilken som helst annen foregående dag i måneden.

3) Egenskapen til vanlighet, som uttrykker den praktiske umuligheten av samtidig mottak av to eller flere krav (sannsynligheten for en slik hendelse er umåtelig liten i forhold til tidsperioden som vurderes, når sistnevnte har en tendens til null).

Med den enkleste flyten av krav, følger fordelingen av krav som kommer inn i systemet Poissons distribusjonslov:

sannsynligheten for at nøyaktig k forespørsler kommer til servicesystemet i løpet av tiden t:

Hvor. - gjennomsnittlig antall forespørsler mottatt for tjeneste per tidsenhet.

I praksis er betingelsene for den enkleste flyten ikke alltid strengt oppfylt. Prosessen er ofte ikke-stasjonær (på forskjellige tidspunkter på dagen og forskjellige dager i måneden kan strømmen av krav endres; den kan være mer intens om morgenen eller de siste dagene i måneden). Det er også en ettervirkning, når antall krav for frigjøring av varer i slutten av måneden avhenger av deres tilfredshet i begynnelsen av måneden. Fenomenet heterogenitet observeres også når flere kunder samtidig ankommer lageret for materialer. Generelt gjenspeiler imidlertid Poisson-fordelingsloven mange køprosesser med en ganske høy tilnærming.

I tillegg kan tilstedeværelsen av en Poisson-strøm av krav bestemmes ved statistisk behandling av data ved mottak av forespørsler om service. Et av tegnene på Poisson-fordelingsloven er likheten mellom den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel og variansen til den samme variabelen, dvs.

En av de viktigste egenskapene til serviceenheter, som bestemmer gjennomstrømningen til hele systemet, er servicetid.

Tjenestetiden for én forespørsel () er en tilfeldig variabel som kan endres over et bredt område. Det avhenger av stabiliteten til driften av selve serviceenhetene, så vel som av ulike parametere som kommer inn i systemet, krav (for eksempel ulik bærekapasitet til kjøretøyer som ankommer for lasting eller lossing.

En stokastisk variabel er fullstendig preget av en fordelingslov, som bestemmes på grunnlag av statistiske tester.

I praksis blir hypotesen om den eksponentielle fordelingsloven om tjenestetid oftest akseptert.

Den eksponentielle distribusjonsloven for tjenestetid oppstår når distribusjonstettheten avtar kraftig med økende tid t. For eksempel når hoveddelen av kravene betjenes raskt, og langsiktig service er sjelden. Tilstedeværelsen av en eksponentiell distribusjonslov for tjenestetid er etablert på grunnlag av statistiske observasjoner.

Med den eksponentielle distribusjonsloven for tjenestetid, er sannsynligheten for en hendelse for at tjenestetiden ikke varer mer enn t lik:

der v er intensiteten av å betjene ett behov av en serviceenhet, som bestemmes ut fra forholdet:

hvor er gjennomsnittstiden for å betjene én forespørsel av én tjenesteenhet.

Det skal bemerkes at hvis loven om distribusjon av tjenestetid er veiledende, vil loven om distribusjon av tjenestetid for flere enheter også være veiledende i nærvær av flere serviceenheter med samme kraft:

hvor n er antall tjenesteenheter.

En viktig parameter for QS er belastningsfaktoren, som er definert som forholdet mellom intensiteten av mottak av krav og intensiteten av tjenesten v.

hvor a er belastningsfaktoren; - intensiteten av mottak av krav i systemet; v er intensiteten av å betjene én forespørsel fra én tjenesteenhet.

Fra (1) og (2) får vi det

Tatt i betraktning at det er intensiteten på forespørsler som kommer inn i systemet per tidsenhet, viser produktet antall forespørsler som kommer inn i servicesystemet i løpet av den gjennomsnittlige tiden for å betjene én forespørsel av én enhet.

For en QS med venting må antallet betjente enheter n være strengt tatt større enn belastningsfaktoren (krav for en stabil eller stasjonær driftsmodus for QS):

Ellers vil antallet innkommende forespørsler være større enn den totale produktiviteten til alle serveringsenheter, og køen vil vokse ubegrenset.

For QS med feil og blandede typer kan denne tilstanden svekkes for effektiv drift av disse QS-typene, det er tilstrekkelig å kreve at minimumsantallet betjente enheter n ikke er mindre enn belastningsfaktoren:

1.3 Simuleringsprosess

Som nevnt tidligere, begynner prosessen med iterativ utvikling av en simuleringsmodell med å lage en enkel modell, som deretter gradvis blir mer kompleks i samsvar med kravene til problemet som skal løses. Følgende hovedstadier kan skilles i simuleringsprosessen:

1. Dannelse av problemet: beskrivelse av problemet som studeres og fastsettelse av målene for studien.

2. Modellutvikling: logisk og matematisk beskrivelse av det modellerte systemet i samsvar med problemformuleringen.

3. Dataforberedelse: identifikasjon, spesifikasjon og innsamling av data.

4. Modelloversettelse: oversettelse av modellen til et språk som er akseptabelt for datamaskinen som brukes.

5. Verifikasjon: fastslå riktigheten av maskinprogrammer.

6. Validering: vurdering av nødvendig nøyaktighet og samsvar av simuleringsmodellen med det virkelige systemet.

7. Strategisk og taktisk planlegging: fastsettelse av betingelsene for å gjennomføre et maskineksperiment med en simuleringsmodell.

8. Eksperimentering: kjører en simuleringsmodell på en datamaskin for å få den nødvendige informasjonen.

9. Analyse av resultater: studere resultatene av et simuleringseksperiment for å utarbeide konklusjoner og anbefalinger for å løse problemet.

10. Implementering og dokumentasjon: implementering av anbefalinger hentet fra simuleringen, utarbeidelse av dokumentasjon på modellen og bruken av den.

La oss vurdere hovedstadiene i simuleringsmodellering. Den første oppgaven til en simuleringsstudie er å presist definere problemet og i detalj formulere målene for studien. Vanligvis er problemdefinisjon en pågående prosess som vanligvis skjer gjennom hele studiet. Den er revidert som en dypere forståelse av problemet som studeres og fremveksten av nye aspekter ved det.

Når den første definisjonen av problemet er formulert, begynner stadiet med å bygge en modell av systemet som studeres. Modellen inkluderer en statistisk og dynamisk beskrivelse av systemet. I den statistiske beskrivelsen bestemmes elementene i systemet og deres egenskaper, og i den dynamiske beskrivelsen, samspillet mellom elementene i systemet, som et resultat av at det oppstår en endring i dets tilstand over tid.

Prosessen med å danne en modell er på mange måter en kunst. Modellutvikleren må forstå strukturen til systemet, identifisere reglene for dets funksjon og være i stand til å fremheve det viktigste i dem, og eliminere unødvendige detaljer. Modellen må være lett å forstå og samtidig kompleks nok til å realistisk representere egenskapene til et reelt system. De viktigste avgjørelsene tas av prosjekterende om de vedtatte forenklingene og forutsetningene er riktige, hvilke elementer og samspillet mellom dem som skal inkluderes i modellen. Detaljnivået i modellen avhenger av formålet med opprettelsen. Det er nødvendig å vurdere bare de elementene som er avgjørende for å løse problemet som studeres. Både på problemdannelsesstadiet og på modelleringsstadiet er det nødvendig med et nært samspill mellom modellutvikleren og dens brukere. I tillegg gir tett samhandling på stadier av problemformulering og modellutvikling brukeren tillit til riktigheten av modellen, og bidrar derfor til å sikre en vellykket implementering av resultatene fra simuleringsstudien.

På modellutviklingsstadiet fastsettes kravene til inngangsdata. Noen av disse dataene kan allerede være tilgjengelige for modellbyggeren, mens andre vil kreve tid og krefter å samle inn. Vanligvis settes verdien av slike inputdata basert på noen hypoteser eller foreløpig analyse. I noen tilfeller har de nøyaktige verdiene til én (eller flere) inngangsparametere liten innvirkning på resultatene av modellkjøringer. Følsomheten til de oppnådde resultatene for endringer i inngangsdataene kan vurderes ved å utføre en serie simuleringskjøringer for forskjellige verdier av inngangsparameterne. Simuleringsmodellen kan derfor brukes til å redusere tiden og kostnadene som kreves for å foredle inndata. Når modellen er utviklet og de første inndataene er samlet inn, er neste oppgave å oversette modellen til en datamaskintilgjengelig form.

På verifikasjons- og valideringsstadiene blir simuleringsmodellens funksjon vurdert. På verifiseringsstadiet bestemmes det om modellen som er programmert for datamaskinen samsvarer med utviklerens intensjon. Dette gjøres vanligvis ved å kontrollere beregningen manuelt, men en rekke statistiske metoder kan også brukes.

Etablering av tilstrekkeligheten til simuleringsmodellen til systemet som studeres, utføres på valideringsstadiet. Modellvalidering utføres vanligvis på ulike nivåer. Spesifikke valideringsmetoder inkluderer å etablere tilstrekkelighet ved å bruke konstante verdier for alle parametere i simuleringsmodellen eller ved å vurdere følsomheten til utdata for endringer i inngangsdataverdier. Under valideringsprosessen bør det gjøres sammenligninger basert på analyse av både reelle og eksperimentelle data om hvordan systemet fungerer.

Betingelsene for å utføre maskinkjøringer av modellen bestemmes på stadiene av strategisk og taktisk planlegging. Oppgaven med strategisk planlegging er å utvikle en effektiv eksperimentell plan, som et resultat av at forholdet mellom kontrollerte variabler blir avklart, eller funnet en kombinasjon av verdier av kontrollerte variabler, minimering eller maksimering av simuleringsmodellen. Taktisk planlegging, i motsetning til strategisk planlegging, tar opp spørsmålet om hvordan man utfører hver simuleringskjøring innenfor den eksperimentelle planen for å få den største mengden informasjon fra utdataene. En viktig plass i taktisk planlegging er definisjonen av betingelser for simuleringskjøringer og metoder for å redusere variansen av gjennomsnittsverdien av modellresponsen.

De neste stadiene i prosessen med simuleringsforskning - å gjennomføre et dataeksperiment og analysere resultatene - inkluderer å kjøre simuleringsmodellen på en datamaskin og tolke de resulterende utdataene. Den siste fasen av en simuleringsstudie er å implementere de resulterende løsningene og dokumentere simuleringsmodellen og dens bruk. Ingen simuleringsprosjekt skal anses som fullført før resultatene er brukt i beslutningsprosessen. Suksessen til implementeringen avhenger i stor grad av hvor riktig modellutvikleren fullførte alle de tidligere stadiene av simuleringsforskningsprosessene. Hvis utvikleren og brukeren jobbet tett og oppnådde en gjensidig forståelse for å utvikle modellen og utforske den, vil resultatet av prosjektet sannsynligvis bli vellykket implementert. Hvis det ikke var noe nært forhold mellom dem, vil det, til tross for elegansen og tilstrekkeligheten til simuleringsmodellering, være vanskelig å utvikle effektive anbefalinger.

Trinnene ovenfor utføres sjelden i en strengt definert sekvens, fra problemdefinisjon til dokumentasjon. Under simulering kan det oppstå svikt i modellkjøringer, feilaktige antakelser som senere må forlates, refokusering av forskningsmål, re-estimeringer og ombygging av modellen. Denne prosessen tillater utvikling av en simuleringsmodell som gir en valid vurdering av alternativer og letter beslutningsprosessen.

Kapittel 2. Distribusjoner og pseudorandomtallgeneratorer

Følgende notasjoner vil bli brukt nedenfor:

X er en tilfeldig variabel; f(x) - sannsynlighetstetthetsfunksjon X; F(x) - sannsynlighetsfunksjon X;

a - minimumsverdi;

b - maksimal verdi;

μ - matematisk forventning M[X]; σ2 - varians M[(X-μ)2];

σ - standardavvik; α-parameter for;

En kø med lengde k forblir i den med sannsynlighet Pk og slutter seg ikke til køen med sannsynlighet gk=1 - Pk." Det er akkurat slik folk vanligvis oppfører seg i køer. I køsystemer, som er matematiske modeller av produksjonsprosesser, kan ev. Kølengden er begrenset av en konstant størrelse (for eksempel bunkerskapasitet) Dette er åpenbart et spesielt tilfelle av den generelle innstillingen.

1. Intensiteten på applikasjonsserviceflyten

2. QS belastningsfaktor

3. Sannsynlighet for kødannelse

4. Sannsynlighet for systemfeil

5. Båndbredde

6. Gjennomsnittlig antall søknader i kø

7. Gjennomsnittlig antall søknader levert av QS

8. Gjennomsnittlig antall søknader i QS

9. Gjennomsnittlig søknadstid til CMO

10. Gjennomsnittlig tid en applikasjon bruker i kø

11. Gjennomsnittlig antall opptatte kanaler.

Kvaliteten på det resulterende systemet må bedømmes basert på de nøyaktige verdiene til indikatorene. Ved analyse av simuleringsresultater er det viktig å ta hensyn til interessene til oppdragsgiver og systemeier. Spesielt bør denne eller den indikatoren være minimum eller maksimum.

26. Enkanals QS

27. Enkanals QS med feil

28. Flerkanals QS med begrenset kø

QS parametere:

o Intensitet av applikasjonsflyten.

o Intensitet av tjenesteflyt.

o Gjennomsnittlig t av forespørsel om service.

o Antall tjenestekanaler.

o Tjenestedisiplin.

< СМО на примере работы АЗС. Несколько одинак. колонок, произв-ть кот.известна. Если колонки заняты, то обслуживание в очереди м. ждать не >3 biler samtidig. Vi anser køen som vanlig. Hvis alle plassene i køen er opptatt, nektes maskinen service.

29. Transportoppgave

- et bredt spekter av oppgaver ikke bare av transport karakter, fordeling av ressurser, lokalisert til flere. leverandører, d/et annet vilkårlig antall forbrukere. D/transportører som oftest er relatert til transport:

1. Knytte forbrukere til produsentenes ressurser.

2. Koble avgangspunkter til destinasjoner.

3. Sammenkobling av forover og bakover lastestrømmer.

4. Optimal fordeling av V industriproduksjon. produserte produkter.

< модель привязки к пункту назначения. Известны: пункты отправления и назначения, объемы отправления по к-му пункту, потребность в грузе, стоимость доставки по каждому варианту. Н. оптимальный план перевозок с min транспортными издержками.

30. Tr. lukket oppgave- ∑Vsent. last = ∑V-forbruk i denne lasten, dvs. ∑ai=∑bj (m – antall leverandører, n – antall forbrukere).

31 . Hvis denne tilstanden ikke er mulig - åpen tr. oppgave. Deretter må den bringes til lukket:

1. Hvis etterspørselen til destinasjonspunktene overstiger reservene til avgangspunktene, introduseres en fiktiv leverandør med den manglende forsendelsen.

2. Hele tilbudet av leverandører > trenger, så er innspillet bekreftet. forbruker.

32. Algoritme for å løse problemet ved å bruke den potensielle metoden (stadier):

1. Utvikling av en innledende plan (referanseløsning).

2. Beregning av potensialer.

3. Kontroller planen for optimalitet.

4. Søk etter maksimal kobling for ikke-optimalitet (hvis trinn 3 ikke er oppfylt)

5. Utarbeide en disposisjon for ressursfordeling.

6. Bestemmelse av min spenning i omfordelings- og omfordelingskretsen. ressurser langs konturen.

7. Få en ny plan.

Denne prosedyren gjentas flere ganger til den optimale løsningen er funnet. Algoritmen forblir uendret. Metoder for å finne den første planen:

1. NW-vinkelmetode

2. Min kostnadsmetode

3. Dobbel preferansemetode

Den potensielle metoden lar deg finne den optimale ved å bruke et begrenset antall planer. (Vogel-metoden) Den potensielle metoden ble utviklet for klassisk. transportoppgaver, men slike er sjeldne, må det innføres en rekke restriksjoner.

33. I økonomien ved å organisere møter, normen for oppgaver, kat.m.b. redusert til transportproblemet:

1. Avd. leveranser fra def. noen leverandører forbrukere d.b. utelukket på grunn av manglende nødvendig konvensjonell lagring, kommunikasjonsoverbelastning, etc.

2. Organisasjon nødvendig def. min ∑kostnader for produksjon og transport av produkter. M. vise seg å være økonomisk. det er mer lønnsomt å levere råvarer fra fjernere punkter, men<себест-ти. Критерий оптимальности принимает ∑ затрат на пр-во и тран-ку.

3. En rekke transport ruter har kapasitetsbegrensninger.

4. Leveranser som definert. ruter er obligatoriske og obligatoriske. d. angi optimal. plan.

5. Det økonomiske problemet er ikke transport. (Eksempel: distribusjon av industrivarer av brukte bedrifter).

6. Behovet for å maksimere målfunksjonen til en transporttypeoppgave.

7. Behovet for å fordele ulike typer last blant forbrukerne samtidig – Transportproblem med flere produkter.

8. Levering av varer på kort tid. (Den potensielle metoden er ikke egnet; den kan løses ved hjelp av en spesiell algoritme).

34. Transportproblem ved nettverkssubstitusjon

Hvis tilstanden til et transportproblem er spesifisert i form av et diagram, viser det leverandører, forbrukere og forbindelser. veiene deres, verdiene av lastreserver og behov for det og indikatorer for optimalitetskriteriet (tariffer, avstander) er angitt i toppene (nodene) i nettverket. Lastebeholdninger anses som positive og krav anses som negative tall. Kantene (buene) på nettet er veier Transportløsning. Problemet i nettverksformuleringen er basert på den potensielle metoden og begynner med konstruksjonen av en innledende referanseplan, som må tilfredsstille kravene:

1. Alle forsyninger skal distribueres og kundene er fornøyde.

2. For hvert toppunkt må lastleveringen (+ eller -) angis

3. Totalt antall leveranser må være 1 mindre enn antall topper.

4. Pilene som indikerer leveranser skal ikke danne en lukket sløyfe. krets.

Deretter sjekkes planen for optimalitet, som potensialene beregnes for. De får en ny plan og undersøker den igjen for optimalitet. Bestem verdien av den objektive funksjonen.

Ved åpen modell introduseres en fiktiv forbruker eller leverandør.

35. D/løsning av vitenskapelige og praktiske problemer innen logistikkfaget ca. hovedmetoder:

1. Systemanalysemetoder

2. Metoder for teori om operasjonsforskning

3. Kybernetiske metoder

4. Prognosemetode

5. Metoder for ekspertvurderinger

6. Modelleringsmetoder

36. Det meste av tiden innen logistikk brukes imitasjon. modellering, der lovene som bestemmer det kvantitative forholdet forblir ukjente, og selve logistikkprosessen forblir en "svart boks" eller "grå boks".

Til hovedprosessene for imitasjon. modellering angående:

1. Konstruksjon av en modell av et reelt system.

2. Gjennomføring av eksperimenter på denne modellen.

Modelleringsmål:

o Bestemmelse av oppførselen til logistikksystemet.

o Valg av strategi for tilbud. den mest effektive funksjonen av logistikken. systemer.

Etterligning Det anbefales å utføre modellering når følgende betingelser er oppfylt:

1. Ikke-eksisterende. fullstendig problemformulering eller analysemetoder for å løse de formulerte er ikke utviklet. matte. modeller.

2. Analytisk det finnes en modell, men prosedyrene er komplekse og tidkrevende, sl. etterligning modellering gir en enklere måte å løse problemet på.

3. Analytisk løsninger substantiv, men implementeringen er umulig på grunn av utilstrekkelig matematisk opplæring av personell.

37. Fant utbredt bruk i logistikk ekspertsystemer- spesiell dataprogrammer, kat. hjelpe spesialister med å ta avgjørelser, kommunikasjon. med materialflytstyring.

Ekspertsystemet lar deg:

1. Ta raske beslutninger av høy kvalitet innen materialforvaltning.

2. forberede erfarne spesialister på relativt kort tid.

4. Bruk erfaringen og kunnskapen til høyt kvalifiserte spesialister på ulike arbeidsplasser.

Ulemper med ekspertsystemet:

1. Begrenset evne til å bruke sunn fornuft.

2. Det er umulig å ta hensyn til alle funksjonene i ekspertsystemprogrammet.

Beregning av effektivitetsindikatorer for en åpen enkanals QS med feil. Beregning av effektivitetsindikatorer for en åpen flerkanals QS med feil. Beregning av effektivitetsindikatorer for en flerkanals QS med en grense på kølengde. Beregning av ytelsesindikatorer for flerkanals QS etter forventning.

1. Strømmer av søknader til CMO

2. Lover om tjeneste

3. Kriterier for kvaliteten på arbeidet til QS

5. Kømodellparametere. Ved analyse av massesystemer

6. I. Modell A er en modell av et enkelt-kanals køsystem med en Poisson-inngangsflyt av forespørsler og eksponentiell tjenestetid.

7. II. Modell B er et flerkanals tjenestesystem.

8. III. Modell C er en modell med konstant servicetid.

9. IV. Modell D er en begrenset populasjonsmodell.

Strømmer av søknader til CMO

Det er innkommende og utgående søknadsflyter.
Inngangsstrømmen av applikasjoner er en tidssekvens av hendelser ved inngangen til QS, der forekomsten av en hendelse (applikasjon) adlyder sannsynlige (eller deterministiske) lover. Hvis servicekrav kommer i samsvar med en plan (for eksempel biler ankommer en bensinstasjon hvert 3. minutt), følger en slik flyt deterministiske (visse) lover. Men som regel er mottak av søknader underlagt tilfeldige lover.
For å beskrive tilfeldige lover i køteori, introduseres en modell av hendelsesflyt. En strøm av hendelser er en sekvens av hendelser som følger hverandre på tilfeldige tidspunkter.
Hendelser kan omfatte ankomst av applikasjoner ved inngangen til QS (ved inngangen til køblokken), utseendet til applikasjoner ved inngangen til tjenesteenheten (ved utgangen av køblokken) og utseendet til betjente applikasjoner kl. utgangen til QS.

Hendelsesstrømmer har forskjellige egenskaper som lar deg skille mellom ulike typer strømmer. For det første kan strømninger være homogene eller inhomogene.
Homogene strømmer er de strømmene der strømmen av forespørsler har de samme egenskapene: de har prioritet først til mølla, de behandlede forespørslene har de samme fysiske egenskapene.
Heterogene strømmer er de strømmene der kravene har ulike egenskaper: kravene er tilfredsstilt i henhold til prioritetsprinsippet (for eksempel et avbruddskart i en datamaskin), de behandlede kravene har forskjellige fysiske egenskaper.
Skjematisk kan en heterogen flyt av hendelser skildres som følger

Følgelig kan flere QS-modeller brukes til å betjene heterogene flyter: en enkeltkanals QS med en kødisiplin som tar hensyn til prioriteringene til heterogene forespørsler, og en flerkanals QS med en individuell kanal for hver type forespørsler.
En vanlig flyt er en flyt der hendelser følger hverandre med jevne mellomrom. Hvis vi betegner med - øyeblikkene for forekomst av hendelser, og med , og med intervallene mellom hendelser, så for en regelmessig flyt

En tilbakevendende flyt er følgelig definert som en flyt der all distribusjon fungerer av intervaller mellom forespørsler

match, altså

Fysisk er en tilbakevendende flyt en sekvens av hendelser der alle intervaller mellom hendelser ser ut til å "oppføre seg" på samme måte, dvs. følge samme distribusjonslov. Dermed er det mulig å studere kun ett intervall og få statistiske egenskaper som vil være gyldige for alle andre intervaller.
For å karakterisere strømmer blir sannsynligheten for fordeling av antall hendelser i et gitt tidsintervall veldig ofte tatt i betraktning, som er definert som følger:

hvor er antallet hendelser som vises i intervallet.
En flyt uten ettervirkning er kjennetegnet ved egenskapen at for to ikke-overlappende tidsintervaller og , hvor , , , er sannsynligheten for forekomsten av antall hendelser i det andre intervallet ikke avhengig av antall forekomster av hendelser i det første intervall.

Fravær av en ettervirkning betyr fravær av en sannsynlig avhengighet av det påfølgende forløpet av prosessen av den forrige. Hvis det er en enkanals QS med en tjenestetid, så med en flyt av forespørsler uten ettervirkning ved inngangen til systemet, vil utgangsstrømmen ha en ettervirkning, siden applikasjoner ved QS'ens utgang ikke vises oftere enn intervallet. I en vanlig flyt, der hendelser følger hverandre med visse intervaller, er det den mest alvorlige ettervirkningen.
En flyt med begrenset ettervirkning er en flyt der intervallene mellom hendelser er uavhengige.
En strømning kalles stasjonær hvis sannsynligheten for forekomsten av et visst antall hendelser i et tidsintervall bare avhenger av lengden på dette intervallet og ikke avhenger av plasseringen på tidsaksen. For en stasjonær strøm av hendelser er gjennomsnittlig antall hendelser per tidsenhet konstant.
En ordinær flyt er en flyt der sannsynligheten for at to eller flere forespørsler oppstår i løpet av en gitt kort tidsperiode dt er ubetydelig liten sammenlignet med sannsynligheten for at en forespørsel inntreffer.
En strømning som har egenskapene stasjonaritet, fravær av ettervirkning og vanlighet kalles Poisson (den enkleste). Denne strømmen inntar en sentral plass blant hele variasjonen av strømmer, akkurat som tilfeldige variabler eller prosesser med en normalfordelingslov i anvendt sannsynlighetsteori.
Poisson flow beskrives med følgende formel:
,
hvor er sannsynligheten for at hendelser skjer i løpet av tiden, og er strømningsintensiteten.
Strømningshastigheten er gjennomsnittlig antall hendelser som oppstår per tidsenhet.
For en Poisson-flyt er tidsintervallene mellom forespørsler fordelt i henhold til den eksponentielle loven

En flyt med begrenset ettervirkning, hvor tidsintervallene mellom forespørsler er fordelt i henhold til en normal lov, kalles en normal flyt.

Lover om tjeneste

Tjenestemodusen (tjenestetiden), så vel som modusen for mottak av forespørsler, kan enten være konstant eller tilfeldig. I mange tilfeller følger tjenestetider en eksponentiell fordeling.
Sannsynligheten for at tjenesten avsluttes før tid t er:

hvor er tettheten av søknadsflyten
Hvor kommer tjenestetidsfordelingstettheten fra?

En ytterligere generalisering av den eksponentielle tjenesteloven kan være Erlang-distribusjonsloven, når hvert tjenesteintervall følger loven:

hvor er intensiteten til den opprinnelige Poisson-strømmen, k er rekkefølgen til Erlang-strømmen.

Kriterier for kvaliteten på arbeidet til QS

Effektiviteten til QS vurderes av ulike indikatorer avhengig av krets og type QS. De mest utbredte er følgende:

Den absolutte gjennomstrømningen til systemet med feil (systemytelse) er gjennomsnittlig antall forespørsler som systemet kan behandle.

Relativ kapasitet til QS er forholdet mellom gjennomsnittlig antall forespørsler behandlet av systemet og gjennomsnittlig antall krav mottatt ved inngangen til QS.

Gjennomsnittlig varighet av nedetid for systemet.

For en QS med en kø, legges følgende egenskaper til:
Lengden på køen, som avhenger av en rekke faktorer: når og hvor mange forespørsler som kom inn i systemet, hvor mye tid som ble brukt på å betjene forespørslene som kom. Kølengden er en tilfeldig variabel. Effektiviteten til køsystemet avhenger av lengden på køen.

For en QS med begrenset venting i en kø er alle de oppførte egenskapene viktige, men for systemer med ubegrenset venting blir den absolutte og relative gjennomstrømningen av QS meningsløs.

I fig. 1 viser tjenestesystemer med forskjellige konfigurasjoner.

Kømodellparametere. Ved analyse av massesystemer tekniske og økonomiske egenskaper brukes til vedlikehold.

De mest brukte spesifikasjonene er:

1) den gjennomsnittlige tiden en klient tilbringer i kø;

2) gjennomsnittlig kølengde;

3) gjennomsnittlig tid som en klient bruker i servicesystemet (ventetid pluss servicetid);

4) gjennomsnittlig antall kunder i tjenestesystemet;

5) sannsynligheten for at tjenestesystemet vil være inaktivt;

6) sannsynligheten for et visst antall klienter i systemet.

Blant de økonomiske egenskapene er følgende av størst interesse:

1) kostnader ved å stå i kø;

2) ventekostnader i systemet;

3) servicekostnader.

Modeller av køsystemer. Avhengig av kombinasjonen av de ovennevnte egenskapene, kan ulike modeller av køsystemer vurderes.

Her skal vi ta en titt på flere av de mest kjente modellene. De har alle følgende fellestrekk:

A) Poisson-fordeling av sannsynligheter for mottak av søknader;

B) standard kundeadferd;

C) FIFO (først inn, først ut) tjenesteregel;

D) en enkelt vedlikeholdsfase.

I. Modell A - modell av et enkeltkanals køsystem M/M/1 med en Poisson-inngangsflyt av forespørsler og eksponentiell tjenestetid.

De vanligste køproblemene er de med en enkelt kanal. I dette tilfellet danner kundene én kø til et enkelt servicepunkt. La oss anta at for systemer av denne typen er følgende betingelser oppfylt:

1. Forespørsler blir servert på først-inn, først-ut-basis (FIFO), der hver kunde venter til slutten av sin tur, uavhengig av lengden på køen.

2. Søknaders utseende er uavhengige hendelser, men gjennomsnittlig antall innkomne søknader per tidsenhet er uendret.

3. Prosessen med å motta søknader er beskrevet av en Poisson-distribusjon, og søknader kommer fra et ubegrenset sett.

4. Tjenestetid beskrives ved en eksponentiell sannsynlighetsfordeling.

5. Tjenesten er høyere enn antallet forespørsler som mottas.

La λ være antall applikasjoner per tidsenhet;

μ – antall klienter servert per tidsenhet;

n – antall applikasjoner i systemet.

Deretter er køsystemet beskrevet av ligningene gitt nedenfor.

Formler for å beskrive M/M/1-systemet:

Gjennomsnittlig tid for å betjene én klient i systemet (ventetid pluss servicetid);

Gjennomsnittlig antall kunder i kø;

Gjennomsnittlig kundeventetid i kø;

Kjennetegn ved systembelastning (andel av tid som systemet er opptatt med vedlikehold);

Sannsynligheten for ingen applikasjoner i systemet;

Sannsynligheten for at det er flere enn K applikasjoner i systemet.

II. Model B er et flerkanals M/M/S servicesystem. I et flerkanalssystem er to eller flere kanaler åpne for service. Det forutsettes at kundene venter i en generell kø og tar kontakt med den første tilgjengelige tjenestekanalen.

Et eksempel på et slikt flerkanals enfasesystem kan sees i mange banker: fra den generelle køen går kundene til det første tilgjengelige vinduet for service.

I et flerkanalssystem følger strømmen av forespørsler Poisson-loven, og tjenestetiden følger den eksponentielle loven. Først til mølla er først servert og alle servicekanaler opererer i samme tempo. Formlene som beskriver modell B er ganske komplekse å bruke. For å beregne parametrene til et flerkanals tjenestesystem, er det praktisk å bruke riktig programvare.

Tiden applikasjonen brukte i køen;

Tiden applikasjonen var i systemet.

III. Modell C er en modell med konstant brukstid M/D/1.

Noen systemer har konstante i stedet for eksponentielt distribuerte tjenestetider. I slike systemer betjenes kundene i en fast periode, for eksempel i en automatisk bilvask. For modell C med konstant tjenestehastighet, er verdiene til Lq og Wq to ganger mindre enn de tilsvarende verdiene i modell A, som har en variabel tjenestehastighet.

Formler som beskriver modell C:

Gjennomsnittlig kølengde;

Gjennomsnittlig ventetid i kø;

Gjennomsnittlig antall klienter i systemet;

Gjennomsnittlig ventetid i systemet.

IV. Modell D er en begrenset populasjonsmodell.

Hvis antallet potensielle kunder til et tjenestesystem er begrenset, har vi å gjøre med en spesiell modell. En slik oppgave kan for eksempel oppstå hvis vi snakker om å betjene utstyret til en fabrikk med fem maskiner.

Det særegne ved denne modellen sammenlignet med de tre tidligere omtalte er at det er en gjensidig avhengighet mellom lengden på køen og frekvensen av mottak av søknader.

V. Modell E - modell med begrenset kø. Modellen skiller seg fra de tidligere ved at antall plasser i køen er begrenset. I dette tilfellet forlater en applikasjon som kommer inn i systemet når alle kanaler og plasser i køen er opptatt, systemet ubetjent, dvs. blir avvist.

Som et spesialtilfelle av en modell med begrenset kø, kan vi vurdere en Modell med feil dersom antall plasser i køen reduseres til null.

4. TEORI OM KØSERVICE

4.1. Klassifisering av køsystemer og deres ytelsesindikatorer

Systemer der forespørsler om tjeneste oppstår på tilfeldige tidspunkter og det finnes enheter for å betjene disse forespørslene kalles køsystemer(SMO).

QS kan klassifiseres basert på serviceorganisasjon som følger:

Feilsystemer har ingen køer.

Ventesystemer har køer.

En søknad mottatt når alle tjenestekanaler er opptatt:

Etterlater systemet med feil;

Køer for service i ventesystemer med ubegrenset kø eller for et tomt sete med begrenset kø;

La systemet vente på en begrenset kø hvis det ikke er ledig plass i den køen.

Som et mål på effektiviteten til en økonomisk QS, vurderes hvor mye tid som går tapt:

Vente i kø;

Nedetid for tjenestekanaler.

For alle typer QS brukes følgende: ytelsesindikatorer :

- relativ gjennomstrømning - dette er den gjennomsnittlige andelen av innkommende applikasjoner som betjenes av systemet;

- absolutt gjennomstrømning - dette er gjennomsnittlig antall applikasjoner som betjenes av systemet per tidsenhet;

- sannsynlighet for feil - dette er sannsynligheten for at en applikasjon vil forlate systemet uten tjeneste;

- gjennomsnittlig antall opptatte kanaler - for flerkanals QS.

Ytelsesindikatorene til QS er beregnet ved hjelp av formler fra spesielle oppslagsverk (tabeller). De første dataene for slike beregninger er resultatene av QS-modellering.

4.2. Modellering av et køsystem:

grunnleggende parametere, tilstandsgraf

Med alle de forskjellige SMO-er har de vanlige trekk , som gjør det mulig å forene deres modellering å finne de mest effektive alternativene for å organisere slike systemer .

For å modellere en QS må du ha følgende innledende data:

Hovedparametere;

Statlig graf.

Resultatene av å modellere en QS er sannsynlighetene for dens tilstander, der alle indikatorer på effektiviteten uttrykkes.

Hovedparametrene for å modellere en QS inkluderer:

Kjennetegn på den innkommende strømmen av tjenesteforespørsler;

Kjennetegn ved tjenestemekanismen.

La oss vurdere X egenskaper ved applikasjonsflyten .

Flyt av søknader - rekkefølgen av forespørsler mottatt for service.

Intensitet av søknadsflyt - gjennomsnittlig antall søknader mottatt av QS per tidsenhet.

Søknadsflyter kan være enkle og forskjellige fra enkle.

For de enkleste strømmene av forespørsler brukes QS-modeller.

Det enkleste , eller Poisson kalt en bekk altså stasjonær, enkelt og i den ingen ettervirkninger.

Stasjonaritet betyr at intensiteten på mottatte søknader forblir konstant over tid.

Enkelt en søknadsflyt er tilfellet når sannsynligheten for å motta mer enn én søknad i løpet av kort tid er nær null.

Ingen ettervirkning er at antall søknader mottatt av QS i løpet av ett tidsintervall ikke påvirker antall søknader mottatt i løpet av et annet tidsintervall.

For andre applikasjonsflyter enn de enkleste, brukes simuleringsmodeller.

La oss vurdere tjenestemekanismens egenskaper .

Tjenestemekanismen er preget av:

- Antall tjenestekanaler ;

Kanalytelse, eller intensiteten på tjenesten - det gjennomsnittlige antallet forespørsler servert av én kanal per tidsenhet;

Kødisiplin (f.eks. køvolum , rekkefølgen på valg fra køen til tjenestemekanismen, etc.).

Statlig graf beskriver funksjonen til tjenestesystemet som overganger fra en tilstand til en annen under påvirkning av strømmen av forespørsler og deres tjeneste.

For å bygge en QS-tilstandsgraf må du:

Lag en liste over alle mulige tilstander i QS;

Presenter de oppførte tilstandene grafisk og vis mulige overganger mellom dem med piler;

Vei de viste pilene, det vil si tilordne dem numeriske verdier for overgangsintensiteter, bestemt av intensiteten til flyten av forespørsler og intensiteten av deres service.

4.3. Beregning av tilstandssannsynligheter

køsystemer

Oppgi graf av QS med ordningen med "død og fødsel" er en lineær kjede, der hver av midttilstandene har direkte og tilbakemeldingsforbindelser med hver av nabotilstandene, og ekstremtilstandene med bare én nabo:

Antall stater i kolonnen er det én mer enn totalt antall tjenestekanaler og plasser i køen.

QS kan være i hvilken som helst av dens mulige tilstander, derfor er den forventede intensiteten for utgang fra en hvilken som helst tilstand lik den forventede intensiteten av systemets inntreden i denne tilstanden. Derfor vil likningssystemet for å bestemme sannsynlighetene for tilstander for de enkleste strømmene ha formen:

hvor er sannsynligheten for at systemet er i tilstanden

- overgangsintensitet, eller gjennomsnittlig antall systemoverganger per tidsenhet fra stat til stat.

Ved å bruke dette ligningssystemet så vel som lign.

sannsynligheten for en hvilken som helst -te tilstand kan beregnes som følger generell regel :

sannsynligheten for en nulltilstand beregnes som

og deretter tas en brøkdel, hvis teller er produktet av alle intensitetene til strømmene langs pilene som fører fra venstre til høyre fra tilstand til tilstand, og nevneren er produktet av alle intensiteter langs pilene som går fra høyre til venstre fra stat til stat, og denne brøken multipliseres med den beregnede sannsynligheten

Konklusjoner på fjerde avsnitt

Køsystemer har en eller flere tjenestekanaler og kan ha en begrenset eller ubegrenset kø (ventesystemer) av forespørsler om tjeneste, eller ingen kø (feilsystemer). Tjenesteforespørsler skjer på tilfeldige tidspunkter. Køsystemer er preget av følgende ytelsesindikatorer: relativ gjennomstrømning, absolutt gjennomstrømning, sannsynlighet for feil, gjennomsnittlig antall okkuperte kanaler.

Modellering av køsystemer utføres for å finne de mest effektive alternativene for deres organisasjon og antar følgende innledende data for dette: grunnleggende parametere, tilstandsgraf. Slike data inkluderer følgende: intensiteten av applikasjonsflyten, antall tjenestekanaler, intensiteten på tjenesten og volumet på køen. Antallet tilstander i grafen er én større enn summen av antall tjenestekanaler og plasser i køen.

Beregning av sannsynlighetene for tilstander i et køsystem med en "død og fødsel" -ordning utføres i henhold til den generelle regelen.

Selvtest spørsmål

Hvilke systemer kalles køsystemer?

Hvordan klassifiseres køsystemer basert på deres organisasjon?

Hvilke køsystemer kalles feilsystemer og hvilke kalles ventesystemer?

Hva skjer med en søknad mottatt på et tidspunkt der alle tjenestekanaler er opptatt?

Hva anses som et mål på effektiviteten til et økonomisk køsystem?

Hvilke ytelsesindikatorer brukes for køsystemet?

Hva fungerer som de første dataene for å beregne effektivitetsindikatorene til køsystemer?

Hvilke innledende data trengs for å modellere køsystemer?

Hva er resultatene av å modellere et køsystem der alle indikatorer på effektiviteten uttrykkes?

Hva er hovedparametrene for modellering av køsystemer?

Hvordan karakteriseres tjenesteforespørselsflyter?

Hva kjennetegner servicemekanismer?

Hva beskriver tilstandsgrafen til et køsystem?

Hva trengs for å bygge en tilstandsgraf av et køsystem?

Hva er tilstandsgrafen til et køsystem med et "død og fødsel"-mønster?

Hva er antallet tilstander i tilstandsgrafen til køsystemet?

Hvilken form har ligningssystemet for å bestemme sannsynlighetene for tilstander i et køsystem?

Hvilken generell regel brukes for å beregne sannsynligheten for en hvilken som helst tilstand i et køsystem?

Eksempler på problemløsning

1. Konstruer en tilstandsgraf for køsystemet og oppgi hovedavhengighetene til ytelsesindikatorene.

EN) n-kanals QS med feil (Erlang-problem)

Hovedparametere:

kanaler,

Strømningsintensitet,

Tjenesteintensitet.

Mulig system sier:

Alle kanaler er opptatt (forespørsler i systemet).

Tilstandsgraf:

Relativ gjennomstrømning,

Sannsynlighet for feil,

Gjennomsnittlig antall opptatte kanaler.

b) n-kanal QS med m-begrenset kø

Mulig system sier:

Alle kanaler er gratis (null forespørsler i systemet);

En kanal er opptatt, resten er ledig (én forespørsel i systemet);

To kanaler er opptatt, resten er gratis (to forespørsler i systemet);

...................................................................................

Alle kanaler er opptatt, to forespørsler står i kø;

Alle kanaler er opptatt, applikasjoner står i kø.

Tilstandsgraf:

c) Enkanals QS med ubegrenset kø

Mulig system sier:

Alle kanaler er gratis (null forespørsler i systemet);

Kanalen er opptatt, det er null forespørsler i køen;

Kanal opptatt, én forespørsel i kø;

...................................................................................

Kanalen er opptatt, applikasjonen er i kø;

....................................................................................

Tilstandsgraf:

Systemytelsesindikatorer:

Gjennomsnittlig tid en applikasjon forblir i systemet ,

Absolutt gjennomstrømning,

Relativ gjennomstrømning.

G) n-kanal QS med ubegrenset kø

Mulig system sier:

Alle kanaler er gratis (null forespørsler i systemet);

En kanal er opptatt, resten er ledig (én forespørsel i systemet);

To kanaler er opptatt, resten er gratis (to forespørsler i systemet);

...................................................................................

Alle kanaler er opptatt (forespørsler i systemet), null forespørsler er i køen;

Alle kanaler er opptatt, én forespørsel er i kø;

....................................................................................

Alle kanaler er opptatt, applikasjoner står i kø;

....................................................................................

Tilstandsgraf:

Systemytelsesindikatorer:

Gjennomsnittlig antall opptatte kanaler,

Gjennomsnittlig antall søknader i systemet ,

Gjennomsnittlig antall søknader i kø ,

Gjennomsnittlig tid en applikasjon tilbringer i kø .

2. Datasenteret har tre datamaskiner. Senteret får i snitt fire oppgaver i timen som skal løses. Gjennomsnittlig tid for å løse ett problem er en halvtime. Datasenteret tar imot og setter inntil tre oppgaver i kø for løsning. Det er nødvendig å evaluere effektiviteten til senteret.

LØSNING. Fra betingelsen er det klart at vi har en flerkanals QS med begrenset kø:

Antall kanaler;

Intensitet av søknadsflyt (oppgave/time);

Tjenestetid for én forespørsel (time/oppgave), tjenesteintensitet (oppgave/time);

Kølengde.

Liste over mulige stater:

Det er ingen forespørsler, alle kanaler er gratis;

En kanal er opptatt, to er ledig;

To kanaler er opptatt, en er gratis;

Tre kanaler er opptatt;

Tre kanaler er opptatt, en forespørsel er i kø;

Tre kanaler er opptatt, to forespørsler står i kø;

Tre kanaler er opptatt, tre applikasjoner står i kø.

Tilstandsgraf:

La oss beregne sannsynligheten for staten:

Ytelsesindikatorer:

Sannsynlighet for feil (alle tre datamaskiner er opptatt og tre programmer er i kø)

Relativ båndbredde

Absolutt gjennomstrømning

Gjennomsnittlig antall okkuperte datamaskiner

3. (Oppgave ved hjelp av en QS med feil.) Tre kontrollere jobber i kvalitetskontrollavdelingen til verkstedet. Hvis en del kommer til kvalitetskontrollavdelingen når alle inspektører er opptatt med å betjene tidligere mottatte deler, så går den ukontrollert gjennom. Gjennomsnittlig antall deler som mottas av kvalitetskontrollavdelingen per time er 24, gjennomsnittlig tid brukt av en inspektør på å betjene en del er 5 minutter. Bestem sannsynligheten for at delen vil passere kvalitetskontrollavdelingen uten å få service, hvor travle inspektørene er og hvor mange av dem som må installeres for (* - spesifisert verdi).

LØSNING. I henhold til forholdene for problemet, altså.

1) Sannsynlighet for nedetid for tjenestekanaler:

3) Sannsynlighet for tjeneste:

4) Gjennomsnittlig antall kanaler okkupert av service:

5) Andel av kanaler okkupert av tjenesten:

6) Absolutt gjennomstrømning:

kl. Ved å utføre lignende beregninger for , får vi

Siden , da har gjort beregninger for , får vi

SVAR. Sannsynligheten for at en del vil passere kvalitetskontrollavdelingen uten å få service er 21 %, og kontrollører vil være 53 % opptatt med vedlikehold.

For å sikre en tjenestesannsynlighet større enn 95 % kreves det minst fem veiledere.

4. (Problem med å bruke en QS med ubegrenset venting.) Sparebanken har tre kassekontrollører () for å betjene innskytere. Strømmen av innskytere kommer inn i sparebanken med en rate på personer per time. Gjennomsnittlig varighet av tjenesten av en kassekontrollør for en innskyter min.

Bestem egenskapene til en sparebank som et CMO-objekt.

LØSNING. Tjenesteflytintensitet, belastningsintensitet.

1) Sannsynlighet for nedetid for kasserere i løpet av arbeidsdagen (se tidligere oppgave nr. 3):

2) Sannsynlighet for å finne alle kasserere opptatt:

3) Køsannsynlighet:

4) Gjennomsnittlig antall søknader i kø:

5) Gjennomsnittlig ventetid for en søknad i køen:

min.

6) Gjennomsnittlig tid en søknad forblir i CMO:

7) Gjennomsnittlig antall gratiskanaler:

8) Beleggsgrad for tjenestekanaler:

9) Gjennomsnittlig antall besøkende i sparebanken:

SVAR. Sannsynligheten for at kasserere er ledige er 21 % av arbeidstiden, sannsynligheten for at en besøkende står i kø er 11,8 %, gjennomsnittlig antall besøkende i en kø er 0,236 personer, gjennomsnittlig tid besøkende venter på service er 0,472 minutter.

5. (Problem med QS med venting og begrenset kølengde.) Butikken mottar tidlige grønnsaker fra forstadsveksthus. Biler med last ankommer til forskjellige tider med intensiteten av biler per dag. Bruksrom og utstyr for tilberedning av grønnsaker for salg gjør det mulig å behandle og lagre varer brakt med to kjøretøy (). Butikken sysselsetter tre pakkere (), som hver i gjennomsnitt kan behandle varer fra én maskin i løpet av en time. Arbeidsdagen under skiftarbeid er 12 timer.

Bestem hva kapasiteten til vaskerom skal være slik at sannsynligheten for fullstendig behandling av varer er.

LØSNING. La oss bestemme lasteintensiteten til pakningene:

Auto/dag

1) La oss finne sannsynligheten for nedetid for pakkere i fravær av maskiner (forespørsler):

og 0!=1,0.

2) Sannsynlighet for tjenestenekt:

3) Sannsynlighet for tjeneste:

Fordi , la oss gjøre lignende beregninger for , får vi), og sannsynligheten for fullstendig behandling av varene vil være .

Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid

Bestem for hver av følgende situasjoner:

a) hvilken klasse QS-objektet tilhører;

b) antall kanaler;

c) kølengde;

d) intensiteten av strømmen av søknader;

e) intensiteten av tjenesten av én kanal;

f) antallet av alle tilstander til QS-objektet.

I svarene dine angir du betydningen for hvert element ved å bruke følgende forkortelser og dimensjoner:

a) OO – enkeltkanal med feil; MO – multikanal med feil; OZHO – enkeltkanal med venting med begrenset kø; OZHN - enkeltkanal med venting med ubegrenset kø; MJO – multikanal med begrenset kø venting; MZHN - multikanal med venting med ubegrenset kø;

b) =… (enheter);

c) =… (enheter);

d) =xxx/xxx(enheter/min);

e) =xxx/xxx(enheter/min);

f) (enheter).

1. Vakthavende bydelsbetjent har fem telefoner. Telefonsamtaler mottas med en hastighet på 90 samtaler i timen, gjennomsnittlig samtalevarighet er 2 minutter.

2. På parkeringsplassen i nærheten av butikken er det 3 plasser som hver er reservert for en bil. Biler ankommer parkeringsplassen med en hastighet på 20 biler i timen. Varigheten av oppholdet til biler på parkeringsplassen er i gjennomsnitt 15 minutter. Parkering på vei er ikke tillatt.

3. Bedriftens PBX gir ikke mer enn 5 samtaler om gangen. Gjennomsnittlig varighet av samtaler er 1 minutt. Stasjonen mottar i gjennomsnitt 10 anrop per sekund.

4. Lastelvehavnen mottar i gjennomsnitt 6 tørrlastskip per dag. Havnen har 3 kraner som hver betjener 1 tørrlastskip på gjennomsnittlig 8 timer. Bulkskip som venter på service er i veikanten.

5. Landsbyens ambulansetjeneste har 3 ekspeditører på vakt 24 timer i døgnet, som betjener 3 telefonapparater. Dersom forespørsel om å tilkalle lege til en pasient mottas når ekspeditørene er opptatt, får abonnenten avslag. Flyten av forespørsler er 4 samtaler per minutt. Å fullføre en søknad tar i gjennomsnitt 1,5 minutter.

6. Frisørsalongen har 4 frisører. Den innkommende strømmen av besøkende har en intensitet på 5 personer i timen. Gjennomsnittlig tid for å betjene én klient er 40 minutter. Lengden på køen for service regnes som ubegrenset.

7. På bensinstasjonen er det 2 pumper for uttak av bensin. I nærheten av stasjonen er det et område for 2 biler å vente på bensin. I gjennomsnitt kommer det én bil til stasjonen hvert 3. minutt. Gjennomsnittlig servicetid for én maskin er 2 minutter.

8. På stasjonen jobber tre håndverkere i forbrukerserviceverkstedet. Hvis en klient kommer inn på verkstedet når alle håndverkerne er opptatt, så forlater han verkstedet uten å vente på service. Gjennomsnittlig antall kunder som besøker verkstedet i løpet av 1 time er 20. Gjennomsnittlig tid en mester bruker på å betjene én klient er 6 minutter.

9. Landsbyens hussentral gir ikke mer enn 5 samtaler om gangen. Gjennomsnittlig forhandlingstid er ca. 3 minutter. Anrop til stasjonen kommer i gjennomsnitt hvert 2. minutt.

10. På en bensinstasjon (bensinstasjon) er det 3 pumper. Området på stasjonen hvor biler venter på tanking kan ikke romme mer enn én bil, og hvis den er opptatt, så står ikke neste bil som kommer til stasjonen i kø, men går til neste stasjon. I gjennomsnitt kommer biler til stasjonen hvert 2. minutt. Prosessen med å fylle drivstoff på én bil varer i gjennomsnitt 2,5 minutter.

11. I en liten butikk betjenes kundene av to selgere. Gjennomsnittlig tid for å betjene én kunde er 4 minutter. Intensiteten på kundestrømmen er 3 personer per minutt. Butikkens kapasitet er slik at ikke mer enn 5 personer kan stå i kø om gangen. En kunde som kommer inn i en fullsatt butikk når det allerede er 5 personer i kø, venter ikke utenfor og går.

12. Jernbanestasjonen i ferielandsbyen betjenes av et billettkontor med to vinduer. I helgene, når befolkningen aktivt bruker jernbanen, er passasjerstrømmen 0,9 personer/min. Kassereren bruker i gjennomsnitt 2 minutter på å betjene en passasjer.

For hvert av QS-alternativene som er spesifisert i alternativene, er intensiteten av strømmen av forespørsler lik intensiteten på tjenesten med én kanal. Påkrevd:

Lag en liste over mulige forhold;

Konstruer en tilstandsgraf i henhold til ordningen "død og reproduksjon".

I svaret ditt, angi for hver oppgave:

Antall systemtilstander;

Intensiteten av overgangen fra den siste tilstanden til den nest siste.

Valg 1

1. enkanals QS med en kølengde på 1 forespørsel

2. 2-kanals QS med feil (Erlang problem)

3. 31-kanals QS med 1 begrenset kø

5. 31-kanals QS med ubegrenset kø

Alternativ nr. 2

1. enkanals QS med en kølengde på 2 forespørsler

2. 3-kanals QS med feil (Erlang problem)

3. 30-kanals QS med 2-begrenset kø